离散均匀随机变量（？），在封闭区间内取所有有理值

我刚刚发生了（智力）恐慌发作。

• 一个连续的随机变量，它在一个封闭的间隔中遵循统一：这是一种非常熟悉的统计概念。 $U(a,b)$
• 在扩展的实数（一半或整个）上具有支持的连续均匀rv：不是rv固有的，而是基本贝叶斯概念，用于不适当的先验，有用和适用。
• 一个离散的统一值，其值是有限的：让我们扔一个测地线圆顶，没什么大不了的。

但是，一个函数具有一个以整数为界的封闭区间中包含的所有有理数（如果需要，以开头）的函数呢？我们想在概率框架中使用它，要求每个可能值与所有其他值都具有相等的概率吗？$[0,1]$

可能值的数量是无穷大的（表征许多离散分布），但是如果我们希望概率相等，那么如何表达单个值的概率呢？

我们能否说出证明这种实体是（不是）随机变量？

如果不是，这是否是“不当先验”的又一个化身（也许已经众所周知）？

这个实体在某种意义上是否可能定义为连续统一rv的“等效”（无论多么特别）？还是我只是犯了一个基本罪？

似乎该域是一个封闭的间隔这一事实并不能让我放手。有界的东西通常是可管理的。

为了指示内部漩涡，问题很多。我不是要得到每个问题的答案。

在任何时候，如果我想出任何见解，我都会进行更新。

更新：目前的问题在这里刚刚获得了一个建构主义的续集。

此“随机变量”类似于在整个实线上具有平坦先验的想法（第二个示例）。

$X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

$c>0$$c=0$$\sigma$

$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$


$z +y =y+z$

$\mu$$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$
$\mu$

更新：通过考虑我们构建的关于有理数的推力测度，沿着从有理数到有理数的单元区间有理数的映射，您立即获得了在这种意义上统一的单位间隔有理数的度量每个有理数部分。
因此，在放宽对有限可加性的要求之后，您在上述两种情况下都将获得此类度量。