了解卡方检验和卡方分布

我试图理解卡方检验背后的逻辑。

卡方测试是。χ2然后比较卡方分布，找出一个p.value以拒绝或不零假设。H0：观测值来自我们用来创建期望值的分布。例如，我们可以测试获得概率是否如我们预期的那样由p给出。所以我们翻转100次，发现ñ^ h和1-ñ^ h。我们希望我们的发现比较预期是什么（100⋅p）。我们也可以使用二项式分布，但这不是问题的重点……问题是：$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

您能否解释一下为什么在零假设下遵循卡方分布吗？$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

关于卡方分布，我所知道的是，度的卡方分布是k平方标准正态分布的总和。$k$$k$

我们也可以使用二项式分布，但这不是问题的重点……

但是，即使您遇到实际问题，这也是我们的出发点。我会非正式地介绍一下。

让我们更一般地考虑二项式情况：

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

然后将近似为。这里是成功的次数。$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

我们有和。$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

（在测试用例中，已知，并且在下指定。我们不做任何估算。）$n$$p$$H_0$

因此大约为。$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

注意。另请注意，。$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

因此$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

这只是二项式情况的卡方统计量。

因此，在那种情况下，卡方统计量应具有（大约）标准正态随机变量的平方分布。