尽管具有正态性假设，为什么等级的皮尔逊相关性仍然有效？

我目前正在阅读有关Pearson相关性的假设。随后的t检验的一个重要假设似乎是两个变量都来自正态分布。如果他们不这样做，则提倡使用替代措施，例如Spearman rho。Spearman相关性的计算就像Pearson相关性一样，仅使用X和Y的等级而不是X和Y本身，对吗？

我的问题是：如果需要将输入到Pearson相关中的变量进行正态分布，那么即使输入变量是等级，为什么Spearman相关性的计算仍然有效？我的排名肯定不是来自正态分布...

到目前为止，我唯一得出的解释是，对rho的重要性的检验可能与Pearson相关t检验的检验有所不同（以不需要正态性的方式），但是到目前为止，我还没有找到公式。但是，当我运行一些示例时，除最后几位数字外，等级的Phoson相关性的rho和t检验的p值始终匹配。对我来说，这看起来不像是一个突破性的过程。

您可能会有任何解释和想法！

计算皮尔逊相关性不需要正态性；只是有关人口总数的某种形式的推断是基于正常假设（CI和假设检验）的。

如果没有正态性，则该特定形式的推断的隐含属性将不成立。

对于Spearman相关性，您没有正态性，但这很好，因为Spearman相关性的推论计算（例如假设检验）不是基于正态性假设。

它们是基于连续双变量分布中的一组成对等级得出的；在这种情况下，假设检验使用基于等级的检验统计量的置换分布。

当推断皮尔逊相关性的通常假设成立时（双变量正态性），斯皮尔曼相关性通常非常接近（尽管平均而言稍微接近于0）。

（因此，当您可以使用Pearson时，Spearman通常会做得很好。如果除了一些其他过程（造成异常值）的污染之外，您的正态数据几乎是双变量的，则Spearman将是一种更可靠的方法来估算无污染的分布。）

当我运行一些示例时，除最后几位数字外，等级的Phoson相关性的rho和t检验的p值总是匹配的

那么，您一直在运行错误的示例！

a = c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)
b = c(1,2,3,4,5,6,7,8,90)
cor.test(a,b,method='pearson')

    Pearson's product-moment correlation

data:  a and b
t = 2.0528, df = 7, p-value = 0.0792
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.08621009  0.90762506
sample estimates:
      cor 
0.6130088 

cor.test(a,b,method='spearman')

    Spearman's rank correlation rho

data:  a and b
S = 0, p-value = 5.511e-06
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho 
  1 

向量a和b具有良好的线性相关性，但远非完美的线性（Pearson）相关性。但是，它们具有完美的等级相关性。见-到斯皮尔曼的$\rho$，在这种情况下，最后一位数字是否b为8.1、9、90或9000（请尝试！）并不重要，只有大于8时才重要。这就是相关等级所产生的差异。

相反，而a和b有完善的等级相关，他们的Pearson相关系数小于1，这表明皮尔逊相关不反映行列。
皮尔逊相关性反映线性函数，秩相关性仅反映单调函数。在正常数据的情况下，两者将非常相似，我怀疑这就是为什么您的数据在Spearman和Pearson之间显示出较大差异的原因。

作为一个实际的例子，请考虑以下内容；您想看看身高较高的人是否体重更大。是的，这是一个愚蠢的问题……但是只要假设这就是您所关心的。现在，体重不再随体重线性增加，因为高个子的人也比小个子的人宽。因此体重不是身高的线性函数。比您高10％的人（平均）比您重10％以上。这就是为什么body / mass索引在分母中使用立方体的原因。
因此，您将假定线性相关关系以不正确地反映身高/体重关系。相反，在这种情况下，等级相关对物理和生物学的烦人规律不敏感；它并不能反映出人们随着身高的增长是否线性地线性增长，而只是反映出更高的人（在一个尺度上排名更高）是否在体重（在另一个尺度上排名更高）。

一个更典型的示例可能是类似Likert的问卷调查排名，例如人们对某项事物的评价为“完美/良好/体面/中等/不良/糟糕”。在规模上，“完美”与“体面”的距离远不如“体面”与“不良” 的远，但是我们真的可以说两者之间的距离是相同的吗？线性相关不一定合适。排名相关性更自然。

为了更直接地解决您的问题：不，Pearson和Spearman相关性的p值不能以不同的方式计算。两者在概念和数值上都有很大的不同，但是如果检验统计量相等，则p值将相等。

在Pearson相关正态的假设的问题，看到这个。
更一般地说，其他人在参数与非参数相关（也请参阅此处）主题以及关于分布假设的意义上比我能更好地阐述。