来自单面Kolmogorov-Smirnov检验的和的两个样本CDF是多少？

我想了解如何获得 -值对片面柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验，以及我在努力寻找的CDF和（在两个样本的情况下）。在一个示例中，以下几处被引用为的CDF ：$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$D^{+}_{n}$

$$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$$

另外，whuber sez对此单样本CDF的表示形式略有不同（我将x替换$x$为$t$，以与此处的符号保持一致）：

使用概率积分变换，唐纳德·努斯推导了它们在p上的（公共）分布。TAoCP第2卷的第57页和练习17。

$$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$$

这将适用于单样本情况下的单边假设，例如：H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$，其中$F(x)$是经验CDF的$x$，和$F_{0}$是一些CDF。

我认为这种情况下的$x$是一个人的样本中$D^{+}_{n}$的值，$\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$是n-nx中最大的整数$n-nx$。（那正确吗？）

但是当一个具有两个样本时，（或的CDF是多少？例如，对于和的经验CDF ，当H？如何获得？$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$$A$$B$$p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

好吧，我要对此进行一试。欢迎提供重要见解。

在第192页的Gibbons和Chakraborti（1992），引用霍奇斯（Hodges），1958年，从用于双面测试的小样本CDF开始（我将和表示法交换为和分别）：$m,n$$d$$n_{1},n_{2}$$x$

$$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

其中是通过从原点到点）的路径枚举（在和单调增加）产生的的图形，其中用代替 -x轴和y轴的值为和。路径还必须遵守留在边界内的约束（其中是Kolmogorov-Smirnov检验统计量的值）：$A\left(n_{1},n_{2}\right)$$n_{1}$$n_{2}$$\left(n_{1},n_{2}\right)$$S_{m}(x)$$F_{n_{1}}(x)$$n_{1}F_{1}\left(x\right)$$n_{2}F_{2}\left(x\right)$$x$

$$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

下图是它们的图像，图3.2提供了的示例，其中包含12条这样的路径：$A(3,4)$

Gibbons和Chakaborti继续说，单侧 值是使用相同的图形方法获得的，但是只有的下限，并且只有的上限。$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

这些小样本方法需要路径枚举算法和/或递归关系，这无疑使渐近计算更为理想。Gibbons和Chakraborti还注意到，随着和接近无穷大，CDF受到限制：$n_{1}$$n_{2}$$D_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$$

他们给出（或）的限制CDF 为：$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$$

由于和严格来说是非负的，因此CDF只能在采用非零值：$D^{+}$$D^{-}$$[0,\infty)$

参考文献
Gibbons，JD和Chakraborti，S.（1992）。非参数统计推断。Marcel Decker，Inc.，第三版，修订和扩展版。

霍奇斯，JL（1958）。Smirnov两样本检验的显着性概率。Arkivförmatematik。3（5）：469--486。