对数建模时的逆变换回归结果

我正在上拟合回归。通过求幂来支持变换点估计（以及置信度/预测间隔）是否有效？我不这么认为，因为但想要别人的意见。E [ f （X ）] ≠ f （E [ X ] $\log(y)$$E[f(X)] \ne f(E[X])$

我下面的示例显示了与反向转换的冲突（.239与.219）。

set.seed(123)

a=-5
b=2

x=runif(100,0,1)
y=exp(a*x+b+rnorm(100,0,.2))
# plot(x,y)

### NLS Fit
f <- function(x,a,b) {exp(a*x+b)} 
fit <- nls(y ~ exp(a*x+b),  start = c(a=-10, b=15)) 
co=coef(fit)
# curve(f(x=x, a=co[1], b=co[2]), add = TRUE,col=2,lwd=1.2) 
predict(fit,newdata=data.frame(x=.7))
[1] 0.2393773

### LM Fit
# plot(x,log(y))
# abline(lm(log(y)~x),col=2)
fit=lm(log(y)~x)
temp=predict(fit,newdata=data.frame(x=.7),interval='prediction')
exp(temp)
        fit       lwr       upr
1 0.2199471 0.1492762 0.3240752

这取决于您想在另一端获得什么。

转换后的参数的置信区间可以很好地进行转换。如果它具有对数刻度的名义覆盖率，则由于转换的单调性，它将具有与原始刻度相同的覆盖率。

将来观察的预测间隔也可以很好地转换。

对数刻度上的平均值的间隔通常不会是原始刻度上的平均值的合适间隔。

但是，有时您可以从对数刻度上的模型中准确或近似地得出原始刻度上的均值的合理估计。

但是，这是必需的，否则您最终可能会得出具有某些令人惊讶的特性的估计值（例如，可能产生的估计值本身并不具有总体平均值；这并不是每个人都对一件好事的想法）。

因此，例如，在对数正态的情况下，对指数求幂时，您对有一个很好的估计，并且您可能会注意到总体平均值为，因此您可能会考虑通过对进行一些估算来缩放来改善它。$\exp(\mu_i)$$\exp(\mu_i+\frac{1}{2}\sigma^2)$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$

只要人们能够一致地估计调整量，就应该至少能够通过Slutsky定理（特别是乘积形式）获得一致的估计值，并且确实可以获得某种分布渐近性。连续映射定理说，如果可以一致地估计，就可以。$\sigma^2$

所以只要是一致的估计，然后 的分布收敛到（然后通过检查将渐近对数正态分布）。由于与一致，，根据连续映射定理，与一致，因此我们有一个一致的估计按原始比例表示。$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2)$ ^ μ 我 μ我EXP（ ^ μ 我）EXP（μ我$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$$\hat{\mu_i}$$\mu_i$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\mu_i)$

看这里。

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