最大似然估计值不一致的示例

我正在阅读一篇论文的评论，并且作者指出，有时，即使估计值（通过ML或最大拟似然法得出）可能不一致，但似然比或拟似然比检验的功效仍然可以收敛到1，因为观察到的数据数量趋于无穷大（测试一致性）。如何以及何时发生？你知道一些书目吗？

[我认为这可能是您所讨论问题的一种示例。]

ML估计量不一致的例子有很多。不一致通常在各种稍微复杂的混合问题和检查问题中看到。

[测试的一致性基本上只是对于（固定）错误假设的测试功效增加为。]$n\to\infty$

拉德福德·尼尔（Radford Neal）在他的博客条目2008-08-09中给出了一个示例：最大似然估计的不一致：一个“普通”示例。它涉及到参数的估计在：$\theta$

（尼尔使用其中I具有θ），其中的ML估计θ将趋于0作为ñ →交通∞（实际上的可能性可以是远高于峰值接近0比为相当有限的样本大小的真值）。尽管如此，在真实值θ附近有一个峰，它比在0 附近的峰小。$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

现在想象一下与这种情况有关的两个案例：

a）进行的似然比检验，备择ħ 1：θ < θ 0 ;$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

b）进行的似然比检验，备择ħ 1：θ ≠ θ 0。$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

在情形（a），假设真实（使得替代是真实的，0是真正的另一侧θ）。然后，尽管这一事实的可能性非常接近于0将超过在的，可能但超过的可能性即使在小样本，比例将继续增长，因为更大的，以使似然比测试中的拒绝概率变为1。$\theta<\theta_0$$0$$\theta$θ θ 0 Ñ →交通$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

的确，即使在情况（b）中，只要固定且远离边界，也应该存在这样的可能性，即似然比将以使似然比测试中的拒绝概率也增大的方式增长方法1。$\theta_0$$0$

因此，这似乎是ML估计不一致的一个示例，尽管LRT的为1（时除外）。$\theta_0=0$

[请注意，whuber的答案中实际上还没有什么东西，我认为这是一个清晰的例子，并且对于理解测试一致性和估计量一致性之间的区别要简单得多。在特定示例中不一致的估计量不是ML的事实，就了解差异而言并没有多大关系-引入一个专门针对ML的不一致的估计量-正如我在此处尝试做的-并没有真正改变任何实质性解释。该示例的唯一真实之处在于，我认为它解决了您对使用ML估计器的担忧。]

令从正态分布中抽取。考虑估计量（μ ，1 $(X_n)$$(\mu, 1)$

的分布是普通。它收敛到，表明它是不一致的。（μ + 1 ，1 / $T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$μ+1≠$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

在假设与一个简单的假设，对数似然比将与基于而不是的LLR完全相同。（实际上，是有用的零假设比较到备择假设）。由于基于平均测试有功率收敛到为任何测试大小和任何效果大小，使用本身的测试功效也收敛为。 μ = μ 阿ˉ X Ť Ť μ + 1 = μ 0 + 1 μ + 1 = μ 阿 + 1 1 α > 0 Ť $\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$