观测到的费舍尔信息


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从Y. Pawitan的“在所有可能性中:使用可能性进行统计建模和推断”中,重新参数化的可能性被定义为 使得如果g是一对一,则L ^ *(\ psi)= L(g ^ {-1} (\ psi))(第45页)。我试图显示练习2.20,其中指出如果\ theta是标量(并且我假设g也应该是标量函数),则 I ^ *(g(\ hat {\ theta}))= I( \ hat {\ theta})\ left | \ frac {\ partial g(\ hat {\ theta})} {\ partial \ hat {\ theta}} \ right | ^ {-2}, 其中 I(\ theta) =-\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial \ theta ^ 2} l(\ theta) θg(θ)=ψ

L(ψ)=max{θ:g(θ)=ψ}L(θ)
gL(ψ)=L(g1(ψ))θg
I(g(θ^))=I(θ^)|g(θ^)θ^|2,
I(θ)=2θ2l(θ)
是观察到的Fisher信息,并且l(θ)=logL(θ)

如果g是一对一的,那么使用链规则和不变性原理就很简单。我只是想知道几件事:

  1. 他为什么坚持写绝对值?这可以省去吧?
  2. 通过g(θ^)θ^他表示函数g(θ)θ\处求值theta = \ hat {\ theta}θ=θ^,对吗?如果是这种情况,那么这不是一个糟糕的符号选择吗?我认为,通常对此的简写应该是g(θ^)θ
  3. g不一定是一对一时,该如何显示?

Answers:


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  1. 绝对值是不必要的。这可能只是一个错字。

  2. 没错 更好的表示法是dg(θ)dθ|θ=θ^

  3. 它一般不成立。修复一些并通过定义。rhs是不确定的,因为每个的导数为零。ψ0g:RRg(θ)=ψ0θ

常规情况的草图:

对于光滑一个到一与。由于,我们有 因此, gψ=g(θ)d/dψ=dθ/dψd/dθ

I(ψ)=d2L(ψ)dψ2=ddψ(dL(ψ)dψ)=ddψ(dL(ψ)dθdθdψ)=d2L(ψ)dθ2(dθdψ)2dL(ψ)dθd2θdψ2dθdψ.
I(g(θ^))=d2L(g(θ^))dθ2(dθdψ)2dL(g(θ^))dθd2θdψ2dθdψ=d2L(g1(g(θ^)))dθ2(dg(θ)dθ|θ=g1(g(θ^)))2dL(g1(g(θ^)))dθd2θdψ2dθdψ=I(θ^)(dg(θ)dθ|θ=θ^)2,
,我们在其中使用了。dL(g1(g(θ^)))/dθ=dL(θ^)/dθ=0

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感谢您解决我的所有疑问,并感谢提供了常数简单示例。您对常规案例的了解与我所做的类似,所以都很好。谢谢。g
Stefan Hansen 2014年
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