AR（2）平稳性的证明

考虑平均为中心的AR（2）过程

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ 其中是标准白噪声过程。为了简单起见，我将其称为和。着眼于特征方程的根，我得到 教科书中的经典条件如下：$\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ 我尝试手动（在Mathematica的帮助下）解决根上的不等式，即系统仅可以恢复第三个条件（）前两个彼此的解决方案得到，经过一些符号考虑，其变为？还是我缺少解决方案？ $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ $|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

我的猜测是您要离开的特征方程式与我的不同。让我分两步进行看看我们是否同意。

考虑方程

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

如果$z$是“标准”特性方程式$1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$并设置$z^{-1}=\lambda$，则显示器通过重写标准值获得如下：

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ 因此，$AR(2)$稳定性的另一种条件是，第一个显示的所有根都在单位圆内，$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$。

我们使用此表示法来导出平稳三角形的的$AR(2)$的处理，即，一个$AR(2)$是稳定的，如果以下三个条件得到满足：

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

回想一下，可以写在第一显示的根（如果实数）为

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$ 找到前两个条件。

然后，$AR(2)$是当且仅当静止$|\lambda|<1$，因此，（如果$\lambda_i$是真实的）：

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ 的两个较大的$\lambda_i$为界$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$或： $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ 类似地，我们发现$\phi_2<1 + \phi_1$。

如果$\lambda_i$是复杂的，则$\phi_1^2<-4\phi_2$等

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$$\phi_2^2<1$$\phi_2<1+\phi_1$$\phi_2<1-\phi_1$

绘制平稳三角形，还指示将复数与真实根分开的线，我们得到

在R中使用

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)