我试图模拟在圆中随机点的注入，以使圆的任何部分都具有相同的出现缺陷的可能性。如果我将圆分成相等面积的矩形，我期望结果分布的每面积计数遵循泊松分布。

由于只需要在圆形区域内放置点，因此我在极坐标中注入了两个均匀的随机分布：（半径）和（极角）。$R$$\theta$

但是在完成注入之后，与边缘相比，我显然在圆心得到了更多的点。

在圆上进行这种注入以使点随机分布在整个圆上的正确方法是什么？

您希望点的比例与面积成均匀比例，而不是与原点的距离成比例。由于面积与距离的平方成正比，因此生成均匀的随机半径并取其平方根。 结合一个均匀的极角。

这是快速，简单的代码，有效的执行（尤其是在并行平台上），并且精确地生成了规定数量的点。

例

这是R用于说明算法的工作代码。

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

可以使用拒绝采样。这意味着我们可以从2D均匀分布中采样，然后选择满足光盘条件的采样。

这是一个例子。

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

当然，我也将为您提供适用于二维情况的一般n维答案。在三个维度上，磁盘的类似物是实心球（球）的体积。

我将讨论两种方法。其中一个我称为“精确”，在R中您将获得一个完整的解决方案。第二个我称为启发式，这只是一个主意，没有提供完整的解决方案。

“精确”解决方案

我的解决方案基于Marsaglia和Muller的作品。基本上会发生这种情况，以便规范化到其范数的高斯向量将为您提供d维超球面上的均匀分布点：

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

这是3D外壳的代码片段，即实心球：

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

启发式方法

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

我建议的解决方案是使用拒绝采样对中心附近的点进行过采样。事实证明，如果您从球内部观看随机均匀样本的笛卡尔坐标之一，则其分布将收敛为方差为的高斯$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

这是以下方面的替代解决方案R：

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")