无需更换即可绘制时预期的不同颜色数


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考虑一个包含球的不同颜色的,其中 是球在个球中的比例()。我从骨灰盒中取出了球而没有替换,然后查看绘制的球中不同颜色的数字。根据分布合适属性,对作为函数的期望是什么?P p Ñ Σ p = 1 ñ ÑNPpiiNipi=1nNγ Ñ / Ñ pγγn/Np

给出更多的见解:如果对所有且,那么我将始终准确看到种颜色,即。否则,可以证明的期望是。对于固定的和,当均匀时,乘以的因子似乎最大。可能看到的不同颜色的预期数量受和熵的 函数限制?p = 1 / P Ñ γ = P Ñ / Ñ γ > P Ñ / Ñ P ñ ñ / Ñ p Ñ / Ñ pN=Ppi=1/Pinγ=P(n/N)γ>P(n/N)PNn/Npn/Np

这似乎与优惠券收集者的问题有关,除了不进行替换而执行采样,并且优惠券的分布不均匀。


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我认为这个问题可以表述为:多元超几何分布样本中预期的非零条目数量是多少?
Kodiologist

Answers:


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假设你有颜色,其中ķ ñ。让b 表示球颜色的数量所以Σ b = Ñ。令B = { b 1b k },令E iB 表示由Bi个元素子集组成的集合。令Q n c表示选择n的方式kkNbiibi=NB={b1,,bk}Ei(B)iBQn,cn上述集合中的元素,使得所选集合中不同颜色的数量为。对于c = 1,公式很简单:cc=1

Qn,1=EE1(B)(eEen)

对于我们可以计算大小为n的球的集合,该球最多具有2种颜色减去正好具有1种颜色的集合的数目:c=2n1

Qn,2=EE2(B)(eEen)(k11)Qn,1

是将颜色添加到固定颜色的方式的数量,如果总共有k种颜色,则将有2种颜色。的通式为,如果你有Ç1点固定的颜色和要进行Ç2种颜色出它同时具有ķ在总的颜色(c ^1c ^2ķ)是 ķ-c ^1(k11)kc1c2kc1c2k。现在,我们拥有导出Qnc的通用公式的一切:(kc1c2c1)Qn,c

Qn,c=EEc(B)(eEen)i=1c1(kici)Qn,i

如果您绘制n个球,则将完全具有种颜色的概率为:cn

Pn,c=Qn,c/(Nn)

还要注意的是如果y>x, y =0(xy)=0y>x

可能在某些特殊情况下可以简化公式。这次我没有发现这些简化。

您正在寻找依赖于的颜色数量的期望值如下:n

γn=i=1kPn,ii

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您将称为概率,但您似乎已将其定义为整数之和。你忘了除以某物吗?Pn,c
Kodiologist

是的,我想你是对的。您需要除以,但不幸的是,这种方式仍然不正确。如果ê˚FÈÇË˚F我在上式中doublecounting。(Nn)E,FEc(B)EF
jakab922

似乎可以使用sieve方法固定公式。我将在今天晚些时候发布修复程序。
jakab922 '16
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