无需更换即可绘制时预期的不同颜色数

考虑一个包含球的不同颜色的，其中 是球在个球中的比例（）。我从骨灰盒中取出了球而没有替换，然后查看绘制的球中不同颜色的数字。根据分布合适属性，对作为函数的期望是什么？P p 我我Ñ Σ 我p 我 = 1 ñ ≤ $N$$P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$$n \leq N$γ Ñ / Ñ $\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

给出更多的见解：如果对所有且，那么我将始终准确看到种颜色，即。否则，可以证明的期望是。对于固定的和，当均匀时，乘以的因子似乎最大。可能看到的不同颜色的预期数量受和熵的 函数限制？p 我 = 1 / P 我Ñ γ = P （Ñ / Ñ ）γ > P （Ñ / Ñ ）P ñ ñ / Ñ p Ñ / Ñ $N = P$$p_i = 1/P$$i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$$n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

这似乎与优惠券收集者的问题有关，除了不进行替换而执行采样，并且优惠券的分布不均匀。

假设你有颜色，其中ķ ≤ ñ。让b 我表示球颜色的数量我所以Σ b 我 = Ñ。令B = { b 1，… ，b k }，令E i（B ）表示由B的i个元素子集组成的集合。令Q n ，c表示选择$k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$上述集合中的元素，使得所选集合中不同颜色的数量为。对于c = 1，公式很简单：$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

对于我们可以计算大小为n的球的集合，该球最多具有2种颜色减去正好具有1种颜色的集合的数目：$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

是将颜色添加到固定颜色的方式的数量，如果总共有k种颜色，则将有2种颜色。的通式为，如果你有Ç1点固定的颜色和要进行Ç2种颜色出它同时具有ķ在总的颜色（c ^1≤c ^2≤ķ）是（ ķ-c ^$\binom{k - 1}{1}$$k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$。现在，我们拥有导出Qn，c的通用公式的一切：$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

如果您绘制n个球，则将完全具有种颜色的概率为：$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

还要注意的是如果y>x，则 y） =0。$\binom{x}{y} = 0$$y > x$

可能在某些特殊情况下可以简化公式。这次我没有发现这些简化。

您正在寻找依赖于的颜色数量的期望值如下：$n$

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$