多大比例的独立分布给出正态分布？

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两个独立正态分布的比率给出柯西分布。t分布是正态分布除以独立的卡方分布。两个独立的卡方分布的比率给出F分布。

我正在寻找独立连续分布的比率，该比率给出均值和方差正态分布随机变量？ $\mu$ $\sigma^2$

可能有无限可能的答案。您能给我一些可能的答案吗？如果要计算比率的两个独立分布相同或至少具有相似的方差，我将特别感激。

— 雷米
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2

虽然Wikipedia上有关比率分配的文章没有提供您要寻求的案例的示例，但它是一个有趣的阅读。

— 阿夫拉罕2014年

2

一个非常特殊的情况是是标准法线，并且独立地分别具有概率，则，和具有相同的均值和方差，而是正态分布。

X

$X$

Y

$Y$

\pm 1

$\pm1$

\frac{1}{2}

$\frac12$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$

— 亨利

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“ 两个独立的卡方分布的比率给出了F分布 ” ---嗯，还不完全。它给出了beta-prime分布。要获得F，您需要按其df缩放每个卡方。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

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许多事情使我完全不相信有可能满足您的所有条件。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

1

以正态变量法（例如Box-Muller）的生成为例（使用圆法），我会说不存在给出正态分布的均匀分布比率（假设要求均匀分布）

— Nikos M.

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让其中具有指数分布，平均和以相等的概率。令其中。假设相互独立，则独立于和。因此，我们有 $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

$Y_1$ 独立于； $Y_2$
两者连续；这样
$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ 。

我还没有弄清楚如何获得。这是很难看到如何做到这一点，因为该问题简化为寻找和这是独立的，使得这是相当比使独立和困难一点。 $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— 家伙
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如果是这样，那就太好了。

— 尼尔·G

2

@NeilG这是真的；我的beta和指数的乘积是形状为1/2的伽玛（因为您可以使用beta来构建beta和独立的伽玛）。然后，使用法线的平方是卡方的事实，其平方根是半法线。

— 家伙

1

最近我们有一个问题，要求两个正态分布的变量的乘积（我找不到它）。这个问题有一个关于Box-Muller变换的评论或答案，该变换根据两个变换后的均匀分布变量的乘积来计算正态分布（或更准确地说是双变量正态分布）。这个答案与此有关很多，但采用Box-Muller变换中这些变量之一的反函数。抄送：@kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

1

如果要计算比率的两个独立分布是相同的，我将特别感激

有没有可能性，即正常变量可以写为两个自变量的与所述的比率相同的分布或分布族（如F-分布这是两个经缩放的比率分布变量或柯西分布这是两个均值为零的正态分布变量的比率）。 $\chi^2$

假设：对于任何，其中是相同的分布或分布族，我们有 $A, B \sim F$ $F$
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
我们还必须能够反转和（如果正态变量可以写为两个具有相同分布或分布族的自变量的比率，则顺序可以颠倒） $A$ $B$
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
但是，如果则不能为真（正态分布变量的逆不是另一个正态分布）分布变量）。 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$

更广泛的结论：如果可以将任何分布族中的变量写成另一个分布族中变量的比率，则必须是族在取值下是封闭的倒数（即，对于任何分布在的变量，其倒数的分布也将在）。 $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_X$

例如，柯西分布变量的逆也是柯西分布。F分布变量的倒数也是F分布。

这个“如果”不是“ iff”，反之则不成立。当和在相同的分布族中时，可能不一定总是用同一分布族中具有分母和分母的比率分布来写。 $X$ $1/X$

反例：我们可以想象一个分布族，对于该族中的任何，我们在同一族中有但我们没有。这与以下事实相矛盾：对于分母和分母具有相同分布的比率分布，我们必须具有（对于连续分布，如沿X /的积分，可以表示类似的形式） X，Y的散点图中的Y = 1，当X和Y具有相同的分布并且独立时，其密度为非零。 $X$ $1/X$ $P(X=1)=0$ $P(X=1) \neq 0$

— 天性
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没看到在我看来，仅由于和正常，并不会使正常。

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— 卡尔，

更好。现在有道理了。

— 卡尔

1

我不明白第二条陈述与第一条陈述的关系。如果存在一些的商是正态的，为什么随之而来的是其他次序的商也应该是正态的？这个问题并没有要求分配族使得所有成对元素的商都是正常的。

A, B

$A, B$

— Neil G

1

我不明白你在说什么。理想情况下，您的答案应该是连贯的论据，而不需要别人阅读编辑内容。现在，似乎您的第二个陈述（“我们也必须有”）跟在第一个陈述之后。

— 尼尔·G

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@kjetilbhalvorsen如何进行修改？我已经回答了部分问题，该问题指定了“如果要计算比率的两个独立分布相同，我将特别感激”。我不知道男生的答案如何与之相关。

— Sextus Empiricus

0

好吧，这是一个，但是我不会证明它，只在仿真中显示它。

制作两个具有相同大形状参数（此处）的beta分布，从其中一个的减去1/2 并将其称为“分子”。这样，我们得到的PDF的最大范围为，但是由于形状参数太大，所以我们永远都不会得到到范围的最大值。这是 “分子” 的直方图 $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

接下来，我们将第二个beta分布称为“分母”而不减去任何东西，因此它具有通常的beta分布范围，其中一个看起来像这样 $(0,1)$

同样，由于形状太大，因此我们无法使用这些值接近最大范围。接下来，我们将商绘制为具有正态分布叠加的PDF。 $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

现在在这种情况下，正态分布结果的并测试正态性，如下所示 $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

换句话说，即使努力尝试，也无法证明该比率不正常。

现在为什么呢？就我而言，直觉太过丰富了。留给读者的证明（如果有的话）（也许通过时限的方法，但这又只是直觉）。

提示：如果我只用中的分母和在分子和我得到学生的与 $\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

另一个提示学生的 $\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— 卡尔
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5

您显然非常接近正态分布。但是，这与具有正态分布完全不一样，而且我不认为居中的对称beta与具有相同参数的普通对称beta的比率实际上是正态的。我对此非常有兴趣，但对此有错。

— Glen_b-恢复莫妮卡

2

您的解决方案绝对不正常。您可以推广这种方法：采用任何近似正态分布，并将其除以概率集中在非零数附近的分布。结果（很明显）将接近于Normal，但是仍然不是Normal。应用一堆测试并不令人信服，因为所有这些都表明您没有生成足够大的样本来证明非正态性。

— ub

1

@whuber在在正常的机器精度下也可能表明噪音会导致任何不正常的现象。我没有超级计算机可以做到超高精度。您可以显示的内容，以及为什么我希望您查看此内容，是从数学上证明或反驳了这些事情，而不仅仅是批评那些无法实现的目标。

10^{8}

$10^8$

— 卡尔，

2

接下来，让我深入探讨这件事：（1）证明正态性是积分近似中的简单练习，无需在此处提供详细信息。例如，您可以轻松证明第200个矩是无限的。（2）您的答案使分布与样本混淆。我反对这种根本的困惑；这就是为什么我认为此答案更具误导性而不是有用的原因。顺便说一句，我没有轻易写下我的最后一条评论：我进行了该测试。我不是用超级计算机来做的，而是用十年的PC工作站来做的，整个过程只花了几秒钟。

— ub

1

@whuber您正在测试哪种近似？第一，第二还是第三？顺便说一句，如果它们只是近似值，那就这样吧。我只建议在有限的情况下可能是准确的。所有的统计数据都是近似值，因此我不会分享您的担心。

— 卡尔

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我想有很多可能性。这里有一个我能想到的。众所周知（Zolotarev），给定两个标准正态分布rv，而柯西分布rv $X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

然后，通过稳定分布的对偶性，我们知道（其中是柯西的比例参数）。因此，您可以得出正态分布可以是正态与柯西系数之比的结果： $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

对于所需的我只需将两个分布都移动到此处居中。（位于）。对于，在上述有关比率分布的Wikipedia页面上，有两个正态分布的比率的通用公式，您只需要用Cauchy的比例因子的反值（）。 $\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— 选择
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请通过显式计算比率或通过模拟来检验您的假设。两者都会显示您的主张不正确。错误在于假设可以将分配比率“取消”以“解决”分子。

— ub

1

嗯，向右的通过确实是阴暗的。我会检查。

X_{2}^{G}

$X_2^G$

— ch14 2014年