中位数统计量何时才是足够的统计量？

我在《化学统计学家》杂志上发表评论说，样本中位数通常可以作为获得足够统计量的一种选择，但是，除了显而易见的一两个观察值等于样本均值的情况外，我想不出另一个非平凡的方法。样本中位数足够的情况。

在分布的支持不取决于未知参数θ的情况下，我们可以调用（Fréchet-Darmois-）Pitman-Koopman定理，即观测的密度必定是指数族形式 得出结论，由于自然足够的统计量 也足够小，则中位数应该是的函数，这是不可能的：修改观测值，的极值，会修改但不会修改中位数。小号= Ñ Σ我= 1 Ť （X 我）小号X 1，... ，X Ñ Ñ > 2

$$\exp\{ \theta T(x) - \psi(\theta) \}h(x)$$ $$S=\sum_{i=1}^n T(x_i)$$ $S$$x_1,\ldots,x_n$$n>2$$S$

在另一种情况下，当分布的支持确实取决于未知参数θ时，我们可以考虑以下情况： 其中由θ索引的集合是f的支持。在那种情况下，因式分解定理意味着 \ prod_ {i = 1} ^ n \ mathbb {I} _ {A_ \ theta}（x_i） 是样本中位数 \ prod_ {i = 1} ^的0-1函数。 n \ mathbb {I} _ {A_ \ theta}（x_i）= \ mathbb {I} _ {B ^ n_ \ theta}（\ text {med}（x_ {1：n}））） 添加进一步的观察值x_ { n + 1}，即它不会修改样本中位数的值会导致矛盾，因为它可能在支持集之内或之外。

$$f(x|\theta) = h(x) \mathbb{I}_{A_\theta}(x) \tau(\theta)$$ $A_\theta$$f$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i)$$ $$\prod_{i=1}^n \mathbb{I}_{A_\theta}(x_i) = \mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))$$ $x_{n+1}$ $$\mathbb{I}_{B^{n+1}_\theta}(\text{med}(x_{1:n+1}))=\mathbb{I}_{B^n_\theta}(\text{med}(x_{1:n}))\times \mathbb{I}_{A_\theta}(x_{n+1})$$