预测模型中的传递函数-解释

我忙于ARIMA建模，该模型添加了用于推广建模目的的外生变量，并且很难向业务用户进行解释。在某些情况下，软件包最终会带有简单的传递函数，即参数*外生变量。在这种情况下，解释很容易，即促销活动X（由外源二进制变量表示）通过Y量影响因变量（例如需求）。因此，从业务角度来讲，我们可以说促销活动X导致需求量增加了Y个单位。

有时，传递函数更加复杂，例如多项式除法*外生变量。我所能做的就是对多项式进行除法，以便找到所有的动态回归系数，并说例如促销活动不仅会影响需求发生期间的需求，而且还会影响未来的需求。但是由于软件包将输出传递函数作为多项式的除法，因此业务用户无法做出直观的解释。如果不进行除法运算，关于复杂的传递函数，我们有什么可以说的吗？

相关模型的参数和相关传递函数如下所示：

常数= 4200，AR（1），促销活动系数30，Num1 = -15，Num2 = 1.62，Den1 = 0.25

因此，我想如果这期间我们进行促销活动，需求量将增加30个单位。另外，由于存在传递函数（多项式除法），所以促销活动不仅会影响当前时间段，还会影响随后的时间段。问题是，我们如何才能发现促销会影响将来的几个时段，以及每个时段对需求量的影响如何？

该答案基于Makridakis等人的符号。人教科书上预测。我认为在任何有关传递函数建模的标准教科书中都类似。我还将检查艾伦·潘克拉茨（Alan Pankratz）关于传递函数建模的出色文章，因为以下答案是这两本书中出色的图形所激发的。我在传递函数方程式中使用了一种称为的表示法您需要从参考教科书中了解这一点，以便您理解以下内容。我在下面总结了它们：$r,s,b$

1. $r$是分母项的数量。（什么是衰减模式-快速还是缓慢？）
2. $s$是分子项的数量。（效果何时发生？）
3. $b$是生效的延迟时间。

通用传递函数的形式为：

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1- .....-\omega_sB^s)} {1-\delta_1B^1 - ...\delta_r B^r} X_{t-b}+e_t$$

如下所示，将系数以方程式格式可能会有所帮助。还要考虑担任销售和作为促销/广告在时间，便于理解。$Y_t$$X_t$$t$

在您的情况下 = 1， = 2且 = 0$r$$s$$b$

$$Y_t = \mu + \frac{(\omega_0-\omega_1B^1-\omega_2B^2)} {1-\delta B} X_t+e_t$$ 其中是进程。是常数/水平，是分子系数，而是分母系数。$e_t$$AR(1)$$\mu$$\omega$$\delta$

将您的系数应用于上述方程式将转换为：

$$Y_t = 4200 + \frac{(30 + 15B^1- 1.62 B^2)} {1-0.25B} X_t+e_t$$

分子表示移动平均值（移动平均值）部分，分母表示传递函数的自回归部分。将分子视为效应开始的时间，分母将控制分子因子的衰减。IT可能进一步使用基本代数来说明影响，从而仅以加法形式分解传递函数。

$$\frac{30} {1-0.25B}X_t + \frac{15B^1} {1-0.25B}X_t - \frac{1.62B^2} {1-0.25B}X_t$$

我使用SAS进行了大部分计算（请参阅此网站）。现在，如网站上所述对方程的第一部分执行递归计算，将转换为下图。这说明在时间时，广告会导致销售中的30个增量单位相等。该广告在随后的时间段示例中也有影响，例如在，影响为7.5增量单位，依此类推，由分母系数。 $t = 0$$t = 1$$\delta = 0.25$

传递函数的第二部分和第三部分通过应用递归计算转换为下图。对于第二部分，请注意，在的销售额等于销售滞后2的15个单位，并且进一步下降。对于分子的第三部分，导致销售额在滞后3时下降-1.62个单位并进一步下降。$t=0$

使用基本代数将传递函数的所有3个部分累加地组合为最终形式，如下所示：

这告诉你的是，广告在原因销售额的30台和22.5台的销量在，迅速下降到4台的销量在的等....$t=0$$t=0$$t=1$$t=2$

让我们看看如果将分母系数从0.25更改为0.70并将分子保持为30，会发生什么情况。下面的等式是传递函数的一种简单形式，在实践中效果很好，也称为无限分布滞后模型或Koyck滞后模型。

$$\frac{\omega_0} {1-\delta B}X_t => \frac{30} {1-0.70B}X_t$$

如下图所示，由于衰减系数从0.25增加到0.70，因此衰减非常缓慢。

希望这会有所帮助。我从经验中学到，可视化是向包括我在内的非技术人员解释传递函数的唯一方法。实践建议，我建议对数据进行实验，因为这可能只是Armstrong所说的幻想。如果可能的话，我将对您的“因果”变量进行实验，以建立“因果关系”。另外我也不知道为什么您的分子3是-1.62，这可能只是虚假的。

如果您发现此帖子有用，请提供反馈，因为它花了一些时间来回答此答案。由于@javlacalle，我在此网站上学习了传递函数的可视化。

在我咨询过的许多情况下，促销前通常会有一些特殊活动，反映出潜在的影响。自动/例行检测此现象对于良好的模型开发至关重要。另外，还需要考虑脉冲，电平转换，本地时间趋势，否则它们会阻碍/扭曲分析。我们还发现，尽管可能需要区别来识别传递函数，但不一定是最终模型的一部分。在Box和Jenkins的开创性工作中没有解决这和其他问题，但现在例行讨论。如果您想发布数据，我和其他人也许可以帮助阐明这一点，同时还研究任何必要的变换，例如幂变换或加权最小二乘。我使用过的软件将传递函数重新定义为普通回归（多项式分布式滞后/自回归分布式滞后）模型。这在向客户/客户解释模型时非常有用，并且在后续使用方程式时也很有用。

在将TF模型表示为纯右手方面

提供了以下模型：
1.输入项中的纯模型
Y = K1 + [W（B）/ D（B）] * X + [THETA（B）/ PHI（B）] * A
2.AS是一个包含滞后项的混合模型OF Y
D（B）* PHI（B）* Y = K2
= + PHI（B）* W（B）* X
= + D（B）* THETA（B）* A
= + PHI（B）* W（ B）* X = + D（B）* THETA（B）* A

    WHERE K2 = K1*[D(B)*PHI(B)]                                             
     OR   K1 = K2*/[D(B)*PHI(B)]                                            

估计实际上是作为（2）完成的
，而表将其表示为（1）。
在
表格中以表格（1）表示的常数为K2，在表格（2）中表示的常数为K1
。

表示为XARMAX的模型
Y [t] = a 1 Y [t-1] + ... + a [p] Y [tp]
+ w [0] X [t-0] + ... + w [r ] X [tr]
+ b 1 a [t-1] + ... + b [q] a [tq]
+常数

根据Bpx-Jenkins文本自动为销售数据构建的模型是

。将其表示为“回归模型”