贝叶斯主义者接受科尔摩哥罗夫的公理吗？

通常，概率论是用Kolgomorov的公理教授的。贝叶斯人也接受科尔摩哥罗夫的公理吗？

probability bayesian kolmogorov-axioms

— 手写的
source

贝叶斯理论遵循概率的标准公理，因此遵循科尔摩哥罗夫公理。

— 西安

@西安：可以用概率来表示主观信念的程度并不那么明显-因此，问题是拉姆齐和德芬内蒂的作品。

— Scortchi-恢复莫妮卡

这就是为什么我是“目标”贝叶斯并从根据概率论标准定义的先验分布开始的原因

— 西安

我相信Cox-Jaynes对概率的解释为贝叶斯概率提供了严格的基础。（请参阅我的回答）。但是，对此有西安的意见会很好。

— 2014年

@Summit：谢谢，但是我对这个问题不是很感兴趣...！

— 西安

Answers:

在我看来，Cox-Jaynes对概率的解释为贝叶斯概率提供了严格的基础：

Cox，RichardT。“概率，频率和合理预期”。美国物理学杂志14.1（1946）：1-13。
Jaynes，EdwinT。概率论：科学逻辑。剑桥大学出版社，2003年。
Beck，James L.“基于概率逻辑的贝叶斯系统识别”。结构控制与健康监测17.7（2010）：825-847。

Cox推导的概率逻辑公理是：

（P1）：（按惯例） $\Pr[b|a]\ge0$
（P2）： $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$ （取反函数）
（P3）：（连接函数） $\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

公理P1-P3表示以下内容（Beck，James L.“基于概率逻辑的贝叶斯系统识别。”结构控制和健康监控17.7（2010）：825-847）：

（P4）：a）；b）；c） $\Pr[b|b\cap c] = 1$ $\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$ $\Pr[b|c]\in[0,1]$
（P5）：a），b），其中表示包含在，表示等于。 $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$ $\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$ $a \Rightarrow b$ $a$ $c$ $a \Leftrightarrow b$ $a$ $b$
（P6）： $\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
（P7）：假设命题指出命题只有一个是真实的，则： b 1，… ，b N
- a）边际定理： $\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
- b）总概率定理： $\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
- c）贝叶斯定理：对于： $k=1,\ldots,N$ $\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

它们暗示着科尔摩哥罗夫的逻辑声明，可以将其视为特例。

在我对贝叶斯观点的解释中，一切总是（隐含地）以我们的信念和我们的知识为条件。

以下比较来自Beck（2010）：基于概率逻辑的贝叶斯系统识别

贝叶斯观点

概率是基于特定信息的陈述合理性的度量。

概率分布表示关于系统和现象的合理知识的状态，而不是它们的固有属性。
模型的概率是相对于集合中其他模型的可信度的度量。
务实地量化了由于缺少信息而导致的不确定性，而没有声称这是由于自然固有的随机性。

频率论者的观点

从长远来看，概率是发生固有随机事件的相对频率。

概率分布是随机现象的固有属性。
范围有限，例如对模型的概率没有意义。
假定固有随机性，但无法证明。

如何从上面的公理导出Kolmogorov的公理

在下面的[贝克，詹姆斯·L。“基于概率逻辑的贝叶斯系统识别”的第2.2节中。结构控制与健康监测17.7（2010）：825-847。]总结如下：

下面我们使用：有限集子集上的概率测度： $\Pr(A)$ $A$ $X$

[K1]： $\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
[K2]： $\Pr(X) = 1$
[K3]：如果和不相交，则 $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$ $A$ $B$

为了从概率论公理中推导（K1-K3），[Beck，2010]引入了propositon，它中陈述并指定的概率模型。[Beck，2010]进一步介绍了。 $\pi$ $x\in X$ $x$ $\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

P1表示K1，其中和 $b=\{x\in A\}$ $c=\pi$
K2从；P4（a）和表示。 $\Pr[x\in X|\pi]=1$ $\pi$ $x\in X$
K3可以从P6派生：和不相交意味着和是互斥的。因此，K3： $A$ $B$ $x\in A$ $x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

— 首脑
source

从K3可以到达（有限可加性），但不能到达Kolmogorov的第三公理当是 -field的元素而不是简单的子集时，（可加性）有限集

Pr (\cup_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n\Pr(A_i)$

Pr (\cup_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} Pr (A_{i})

$\Pr(\cup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\Pr(A_i)$

A

$A$

σ

$\sigma$

— Scortchi-恢复莫妮卡

@Scortchi KRKoch在介绍贝叶斯统计时引述了贝纳多和史密斯（1994），贝叶斯理论，p。105，作为显示如何解决可数无穷大的来源。我没有检查它，但作为参考也可以在这里给出。

— gwr

在概率论发展之后，有必要证明，较宽泛的概念以“概率”的名称回答，符合他们所启发的严格定义的概念。Ramsey和de Finetti考虑了“主观的”贝叶斯概率，他们独立地表明了信念程度的量化受可比性和连贯性的约束（如果没有人能为您撰写荷兰语书籍，您的信念就是连贯的）是一个概率。

公理化之间的差异在很大程度上取决于品味问题，即应定义什么和衍生什么。但是可数的加性是柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）的一种，它不是从考克斯（Cox）或菲内蒂（Finetti）衍生而来，并且一直存在争议。一些贝叶斯主义者（例如de Finetti和Savage）在有限可加性上停下来，因此不接受所有Kolmogorov的公理。他们可以将均匀的概率分布分布在无限的间隔上而没有不当之处。其他人也跟随Villegas假设单调连续性，并由此获得可数的加性。

拉姆齐（1926），《真理与概率》，拉姆齐（1931），《数学基础和其他逻辑随笔》

de Finetti（1931），“ Sulsignificato soggettivo dellaprobabilità”，FundamentaMathematicæ，17，第298 – 329页

Villegas（1964），“论定性概率代数”，安。数学。统计员。，35，4。 $\sigma$

— Scortchi-恢复莫妮卡
source

为什么我的答案只涉及“客观贝叶斯”概率？考克斯（Cox，1946）的开创性著作明确地解决了主观性问题！这是非常有趣的-易于阅读的论文。我认为区分“主观”和“客观”贝叶斯概率是没有道理的：一切总是隐含地取决于进行分析的人->在这方面，“主观”。

— 2014年

关于Kolmogorov从Cox得出的公理的推论：我对Beck，James L. 2.2节中的方法“基于概率逻辑的贝叶斯系统辨识”感到满意。结构控制与健康监测17.7（2010）：825-847。

— 2014年

@峰会：（1）你是对的；拉姆齐和德芬内蒂（Ramsey＆de Finetti）对概率的性格观点更确切地说是将它们直接置于“主观”阵营中，而考克斯则更为普遍。（2）您是说可以从考克斯的假设中得出可数的加性吗？

— Scortchi-恢复莫妮卡

我扩大了答案，期待您的评论。

— 首脑会议

@Summit：谢谢-我希望找到时间使我的工作透彻一半。我已经指出了从Cox定理到“完全”的Kolmogorov公理之间的距离，并认为它与这个问题特别相关（尽管我第一次回答时就完全忘记了这个问题）。Jaynes对此BTW有一些有趣的事情要说。

— Scortchi-恢复莫妮卡