为什么对于正态分布数据，Wilcoxon检验的渐进相对效率与Student的t检验相比？

众所周知，如果数据来自正态分布总体，则Wilcoxon符号秩检验的渐近相对效率（ARE）与Student t检验相比为。基本的一样本测试和两个独立样本的变体（Wilcoxon-Mann-Whitney U）都是如此。对于正常数据，与ANOVA F检验相比，它也是Kruskal-Wallis检验的ARE 。$\frac{3}{\pi} \approx 0.955$

这个显着的结果（对我来说，是$\pi$的“ 最意外的外观之一 ”）和非常简单的结果是否有深刻的，显着的或简单的证明？

用于一样本检验，带符号检验和带秩检验的ARE的简图$t$

我希望@Glen_b答案的详细版本包括对两个样本的带符号秩检验的详细分析以及ARE的直观解释。因此，我将跳过大部分推导。（一个样本的情况，您可以在Lehmann TSH中找到缺失的详细信息）。

测试问题：假设是位置模型的随机样本，对称于零。我们将计算假设相对于t检验的有符号检验，有符号秩检验的ARE 。 ˚F （X - θ ）ħ 0：θ = $X_1,\ldots,X_n$$f(x-\theta)$$H_0: \theta=0$

为了评估测试的相对效率，仅考虑局部替代方案，因为一致的测试的功效相对于固定替代方案趋向于1。对于非固定，产生非平凡渐近幂的局部替代方法通常为的形式，在某些文献中称为Pitman漂移。$\theta_n=h/\sqrt{n}$$h$

我们未来的任务是

• 在null下找到每个检验统计量的极限分布
• 找出替代项下每个检验统计量的极限分布
• 计算每个测试的局部渐近能力

测试统计量和渐近线

1. t检验（假设存在） 吨Ñ = $\sigma$ $$t_n=\sqrt{n}\frac{\bar{X}}{\hat{\sigma}}\to_dN(0,1)\quad \text{under the null}$$ $$t_n=\sqrt{n}\frac{\bar{X}}{\hat{\sigma}}\to_dN(h/\sigma,1)\quad \text{under the alternative }\theta=h/\sqrt{n}$$
   • 因此，如果具有渐近幂函数 ，则拒绝测试 1 - Φ （ž α - ħ $t_n>z_\alpha$ $$1-\Phi\left(z_\alpha-h\frac{1}{\sigma}\right)$$
2. 签名测试并且具有局部渐近幂 $S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1\{X_i>0\}$ $$\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(0,\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the null }$$ $$\sqrt{n}\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\to_dN\left(hf(0),\frac{1}{4}\right)\quad \text{under the alternative }$$ $$1-\Phi\left(z_\alpha-2hf(0)\right)$$
3. 有符号秩检验 并且具有局部渐近幂 $$W_n=n^{-2/3}\sum_{i=1}^{n}R_i1\{X_i>0\}\to_dN\left(0,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the null }$$ $$W_n\to_dN\left(2h\int f^2,\frac{1}{3}\right)\quad \text{under the alternative }$$ $$1-\Phi\left(z_\alpha-\sqrt{12}h\int f^2\right)$$

因此， 如果是标准法线密度，则，

$$ARE(S_n)=(2f(0)\sigma)^2$$ $$ARE(W_n)=(\sqrt{12}\int f^2\sigma)^2$$ $f$$ARE(S_n)=2/\pi$$ARE(W_n)=3/\pi$

如果在[-1,1]上是均匀的，则，$f$$ARE(S_n)=1/3$$ARE(W_n)=1/3$

关于替代方案下的派生的说明

当然，有很多方法可以得出替代方案下的极限分布。一种通用方法是使用Le Cam的第三引理。它的简化版本说明

令为似然比的对数。对于某些统计 ，如果 在空值下，然后是$\Delta_n$$W_n$

$$(W_n,\Delta_n)\to_d N\left[\left(\begin{array}{c} \mu\\ -\sigma^2/2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} \sigma^2_W & \tau \\ \tau & \sigma^2/2 \end{array}\right)\right]\\ $$ $$W_n\to_d N\left(\mu+\tau,\sigma^2_W\right)\quad\text{under the alternative}$$

对于二次平均微分密度，将自动满足局部渐近正态性和连续性，这反过来又暗示了Le Cam引理。使用这个引理，我们只需要在空值下计算。遵循LAN其中是得分函数，是信息矩阵。然后，例如，对于签名测试$\mathrm{cov}(W_n,\Delta_n)$$\Delta_n$

$$\Delta_n\approx \frac{h}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}l(X_i)-\frac{1}{2}h^2I_0$$ $l$$I_0$$S_n$ $$\mathrm{cov}(\sqrt{n}(S_n-1/2),\Delta_n)=-h\mathrm{cov}\left(1\{X_i>0\},\frac{f'}{f}(X_i)\right)=h\int_0^\infty f'=hf(0)$$

这与解释为什么出现（与其他人很好地解释过）无关，但可能会直观地帮助您。Wilcoxon检验是等级的检验，而参数检验是根据原始数据计算的。Wilcoxon检验相对于检验的效率是两个检验所用得分之间相关性的平方。随着的平方相关收敛到。您可以使用R轻松地凭经验看到这一点：$\pi$$t$$Y$$t$$n\rightarrow \infty$$\frac{\pi}{3}$

n <- 1000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549402
[1] 0.9549297
n <- 100000000; x <- qnorm((1:n)/(n+1)); cor(1:n, x)^2; 3/pi
[1] 0.9549298
[1] 0.9549297

简短版：使用Wilcoxon-Mann-Whitney进行换档时的基本原因是，找到渐近相对效率（WMW / t）对应于评估其中是零点处的公共密度，是公共方差。$12\sigma^2[\int f^2(x) dx]^2$$f$$\sigma$

因此，通常，实际上是的可缩放版本；它的积分将带有项；平方时，这就是。$f^2$$f$$\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$\frac{ \;}{\pi}$

签名等级测试的ARE中涉及相同的术语（具有相同的积分），因此采用相同的值。

对于相对于t的符号测试，ARE为 ...，而再次具有。$4\sigma^2f(0)^2$$f(0)^2$$\frac{ \;}{\pi}$

所以本质上就是我在评论中说的；在Wilcoxon-Mann-Whitney与两样本t检验，Wilcoxon符号秩检验与一样本t检验，符号检验与一样本t检验的ARE中（在每种情况下均为一般），因为它以正常密度出现。$\pi$

参考：

JL Hodges和EL Lehmann（1956），
“ t检验的一些非参数竞争者的效率”，
Ann。数学。统计员。，27：2，324-335。