为什么

如果则参数的估计量序列渐近正态 $U_n$ $\theta$ 。（来源）然后将称为的渐近方差。如果此方差等于Cramer-Rao界，则我们说估计量/序列渐近有效。 $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

问题：为什么使用特别是？ $\sqrt{n}$

我知道，对于样本均值，，因此该选择将其标准化。但是，由于上述定义适用于比样本均值多，为什么我们仍然选择通过规范化 $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 。 $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— 无知
source

对于一个好的估计量，

应该具有均值

，参数要被估计，并且

的方差应该收敛到

，也就是说，

的分布应该收敛到在

处具有单个原子的简并分布。但也有许多不同的方式，这种融合可以发生，例如

或

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

等。我们希望渐近法线适用于后一种情况，而不适用于前一种情况。

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate 2015年

有效的估计量是渐近正常的。en.wikipedia.org/wiki/...

— Khashaa

将此问题更好地称为“渐近正态性”，而不是“渐近效率”？对我来说，不清楚“效率”成为问题的实质方面，而不仅仅是遇到“渐近正态性”的上下文。

— 银鱼

只需检查MLE渐近正态性的证明即可！平方根

是一个适用于样本平均值的中心极限定理！

n

$n$

— Megadeth

Answers:

我们不能在这里选择。本质上，“归一化”因子是“稳定到某个有限的方差”因子，以便表达式不会随着样本量达到无穷大而变为零或无穷大，而是保持分布在极限。

因此，无论哪种情况，它都必须是必需的。当然，有趣的是，在许多情况下，它必须是。（但另请参见下面的@whuber评论）。 $\sqrt n$

一个标准示例，其中归一化因子必须为而不是 $n$ 是当我们有一个模型时 $\sqrt n$

ÿ_{Ť} = β ÿ_{Ť - 1个} + ü_{Ť} ， ÿ_{0} = 0 ， Ť = 1个 ， 。 。 。 ， Ť

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

与白噪声，我们估计未知通过普通最小二乘法。 $u_t$ $\beta$

如果发生这种情况，则系数的真实值为，则OLS估计量是一致的并且收敛于通常的 $|\beta|<1$ 率。 $\sqrt n$

但是，如果真实值是（即我们实际上是纯随机游动），则OLS估计量是一致的，但会以速率收敛“更快” （有时称为“超一致”估计量-因为，我想有这么多估计量以速率收敛 $\beta=1$ $n$ ）。在这种情况下，为了得到其（非正常）渐近分布，我们有比例通过（如果我们仅通过缩放 $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ 表达式将变为零）。汉密尔顿第17章有详细信息。 $\sqrt n$

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
source

阿莱科斯·，可以澄清什么正在被评价在模型

（其中，我想你指

和观察值下标

等等）。是它的是，在模型

OLS估计量

会聚在速率

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

为

但是当

收敛是在速率

，抑或是在模型中的情况下

会聚始终是在速率

？简而言之，陈述“和

，即纯随机游动”的意义是什么？

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate 2015年

@DilipSarwate谢谢。更新。我相信现在很清楚。

— Alecos Papadopoulos

（+1）注意

的选择可能是值得指导的

（或

或任何适当的值）不是唯一的。代替它，你可以使用任何函数

对于其中的极限值

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

等于1。只是从广义上讲，

“必须是必须的”。

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— ub

@Khashaa OP询问了渐近效率，但在此过程中，发现OP对“规范化”因素可能有错误的印象。这是一个更基本的问题，因此我选择在答案中进行介绍。我对效率的回答没有说什么。

— Alecos Papadopoulos

也许值得一提的是

而不是

n

$n$

被称为“超一致”？当前，该网站的搜索功能可以使用的简历中唯一提及“超一致”的内容是Alecos！我认为让Qs和As更易于搜索是个好主意。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— 银鱼

样本均方差直觉使您处在正确的轨道上。重新安排条件：

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

最后一个方程是非正式的。但是，从某种程度上来说，它更直观：您说当增加时，与的偏差变得更像正态分布。方差正在缩小，但形状变得更接近正态分布。 $U_n$ $\theta$ $n$

在数学上，他们没有定义收敛于变化的右侧（在变化）。这就是为什么将相同的想法表示为您给出的原始条件。其中右手侧固定，而左手侧收敛。 $n$

— 阿克萨卡尔族
source

您可以解释如何进行“重新安排”。就像您应用的属性一样。

— mavavilj