当是概率密度函数时如何找到？

我该如何解决？我需要中间方程式。也许答案是。$-tf(x)$

$$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$$

$f(x)$是概率密度函数。

也就是说，和\ lim \ limits_ {x \ to \ infty} F（x）= 1$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$$\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

来源：http: //www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf第40页

尝试下面的中间方程式：

$$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$$

$$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$$

根据定义，导数（如果存在）是差商的极限

$$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$$

为。$h\to 0$

假设 在足够小的的间隔内是连续的，则在整个间隔内也将是连续的。然后，中值定理断言有一些之间和为其$f$$[t, t+h)$$h\gt 0$$x f$$h^{*}$$0$$h$

$$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$$

当，必然是，并且在附近的连续性暗示着左侧的极限等于。$h\to 0$$h^{*}\to 0$$f$$t$$-t f(t)$

（很高兴看到此分析不需要对原始不正确积分的存在进行推理。）$\int_t^\infty x f(x) dx$

但是，即使分布具有密度，该密度也不必是连续的。 在不连续点处，商差有左右极限：导数不存在。$f$

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这不是一个可以被从业者忽略的不可思议的数学“病理学”的问题。许多常见且有用的分布的PDF都有不连续点。例如，均匀分布在和处具有不连续的PDF ；当时 Gamma分布在处具有不连续的PDF （包括普适的指数分布和一些分布）；等等。因此，重要的是不要在没有仔细限定的情况下断言答案仅仅是：那将是一个错误。$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$0$$a\le 1$$\chi^2$$-t f(t)$

解决了...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

谢谢你们！！！