描述负二项式分布变量之间差异的分布？

一个Skellam分布描述了具有泊松分布的两个变量之间的区别。是否存在类似的分布来描述遵循负二项式分布的变量之间的差异？

我的数据是通过泊松过程生成的，但包含大量噪声，导致分布的过度分散。因此，使用负二项式（NB）分布对数据建模非常有效。如果要对这两个NB数据集之间的差异进行建模，我有哪些选择？如果有帮助，则假设两组的均值和方差相似。

我不知道这种分布的名称，但是您可以根据总概率定律得出它。假设$X, Y$分别具有负二项式分布，其参数分别为$(r_{1}, p_{1})$和$(r_{2}, p_{2})$。我正在使用参数化，其中$X,Y$表示第$r_{1}$个和$r_{2}$个故障之前的成功次数。然后，

$$P(X - Y = k) = E_{Y} \Big( P(X-Y = k) \Big) = E_{Y} \Big( P(X = k+Y) \Big) = \sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y)P(X = k+y)$$

我们知道

$$P(X = k + y) = {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

和

$$P(Y = y) = {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y}$$

所以

$$P(X-Y=k) = \sum_{y=0}^{\infty} {y+r_{2}-1 \choose y} (1-p_{2})^{r_{2}} p_{2}^{y} \cdot {k+y+r_{1}-1 \choose k+y} (1-p_{1})^{r_{1}} p_{1}^{k+y}$$

那不是很好（赞！）。我唯一看到的简化就是

$$p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} {y+r_{2}-1 \choose y} {k+y+r_{1}-1 \choose k+y}$$

这仍然很丑陋。我不确定这是否有帮助，但是也可以将其重写为

$$\frac{ p_{1}^{k} (1-p_{1})^{r_{1}} (1-p_{2})^{r_{2}} }{ (r_{1}-1)! (r_{2}-1)! } \sum_{y=0}^{\infty} (p_{1}p_{2})^{y} \frac{ (y+r_{2}-1)! (k+y+r_{1}-1)! }{y! (k+y)! }$$

我不确定此和是否有简化表达式，但是如果只需要它来计算 -values，则可以用数字近似$p$

我通过仿真验证了上面的计算是正确的。这是一个粗略的R函数，用于计算该质量函数并进行一些模拟

  f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)  
  {

  S=0
  const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
  const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) ) 

  for(y in 0:UB)
  {
     iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
     iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
     S = S + iy
  }

  return(S*const)
  }

 ### Sims
 r1 = 6; r2 = 4; 
 p1 = .7; p2 = .53; 
 X = rnbinom(1e5,r1,p1)
 Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
 mean( (X-Y) == 2 ) 
 [1] 0.08508
 f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.08509068
 mean( (X-Y) == 1 ) 
 [1] 0.11581
 f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1162279
 mean( (X-Y) == 0 ) 
 [1] 0.13888
 f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
 [1] 0.1363209

$r$$p_{1}, p_{2}$$1-p_{1}, 1-p_{2}$

是。偏斜广义离散Laplace分布是两个负二项式分布随机变量之差。有关更多说明，请参见seetha Lekshmi.V提供的在线文章“偏斜广义离散Laplace分布”。和西米·塞巴斯蒂安