如何以封闭形式计算？

如何评估封闭形式的正常CDF平方的期望？

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

这里，，是实数，，和是标准正态随机变量的密度和分布函数，分别。 $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— 安德烈
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那么你在哪里被卡住？您是否尝试过评估？也许使用

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— 事实

我试图通过零件集成和其他（简单）技术来评估积分，但这并没有带我到任何地方。另外，我实际上是从差异开始的。我发现了类似的问题（stats.stackexchange.com/questions/61080/…），但扩展到平方CDF似乎并不容易。

— Andrei 2015年

您是否考虑过使用极坐标？

— StatsStudent 2015年

不，我没有，您能详细一点吗？

— Andrei 2015年

如果

和

，则

是均匀分布的0和1之间及其二次矩然后

。我记得曾尝试计算类似您对通用

和

要求的东西，但是我没有找到封闭形式的解决方案。

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst 2015年

正如我在上面的评论中所述，请在Wikipedia上查看高斯函数积分的列表。使用符号，它给出其中是由下式定义欧文氏T函数

\int_{- \infty}^{\infty} Φ （ 一个 ž + b ）^{2} ϕ （ ž ） d ž = Φ （ \frac{b}{\sqrt{1个 + {一个}^{2}}} ） - 2 Ť （ \frac{b}{\sqrt{1个 + {一个}^{2}}} ， \frac{1个}{\sqrt{1个 + 2 {一个}^{2}}} ） ，

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

Ť （ H ， q ） = ϕ （ H ） \int_{0}^{q} \frac{ϕ （ H X ）}{1个 + X^{2}} d X

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

如果您插入您将得到 $a=1,b=0$ 评论指出您应该这样做。 $1 \over 3$

— 索克利
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非常感谢，这正是我想要的。

— Andrei 2015年