的分布是什么

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我有四个独立的均匀分布的变量 $a,b,c,d$ 中，每个在 $[0,1]$ 。我想计算 $(a-d)^2+4bc$ 。我计算的分布 $u_2=4bc$ 是（因此），并且的等于

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$ 现在，总和的分布为（也独立）因为。这里必须是因此积分等于现在我将其插入Mathematica并得到

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$

x > y

$x>y$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{x} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \frac{1}{4} [- x + x \ln \frac{x}{4} - 2 \sqrt{x} (- 2 + \ln x)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

我制作了四个独立的集合，每个集合分别由数字组成，并绘制了的直方图： $a,b,c,d$ $10^6$ $(a-d)^2+4bc$

在此处输入图片说明

并绘制了： $f_{u_1+u_2}(x)$

在此处输入图片说明

通常，该图与直方图相似，但在区间大部分为负（根在2.27034处）。正部分的积分。 $(0,5)$ $\approx 0.77$

哪里错了？或者我在哪里缺少什么？

编辑：我缩放直方图以显示PDF。

在此处输入图片说明

编辑2：我想我知道推理的问题所在-集成限制。因为和，所以我不能简单地。该图显示了我必须集成的区域： $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

在此处输入图片说明

这意味着我有为（这就是为什么我的一部分是正确的），中和 in。不幸的是，Mathematica无法计算后两个积分（嗯，它的确计算了第二个积分，因为输出中有一个虚构的单位会破坏一切... ）。 $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

编辑3：看来Mathematica可以使用以下代码计算最后三个积分：

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

这给出了正确的答案:)

— corey979
source

2

我喜欢您尝试通过模拟检查答案的合理性。您的问题是您知道自己犯了一个错误，但是看不到哪里。您是否考虑过可以检查方法的每个阶段，以解决错误所在？例如，错误是否出在您的

？好了，您可以像模拟最终结果一样对照模拟结果检查计算出的PDF。与

同上。如果

和

都正确，则在组合它们时会出错。通过这种逐步检查，您可以查明哪里出了问题！

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— 银鱼

我放弃了第一次尝试，并从头开始重新计算。我相信

和

是正确的，尽管我必须手动将初始

乘以2才能将其归一化为单位。但这只是改变高度，并不能解释为什么我有负

。

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979

当生成此类直方图以与计算的代数量进行比较时，将直方图缩放为有效密度（如果可以的话，将其叠加）。对f1和f2做类似的检查，以确保您拥有正确的权限；如果它们是正确的（我还没有找到怀疑它们的充分理由，但是最好再三检查），那么问题必须在以后。

— Glen_b-恢复莫妮卡2015年

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通常，它有助于使用累积分布函数。

第一，

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

下一个，

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

令介于的最小（）和最大（）可能值之间。写入与CDF 和与PDF ，我们需要计算 $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

我们可以预料这很讨厌- 均匀分布的PDF不连续，因此应该在的定义上产生破绽-因此Mathematica获得封闭形式（在此我不再赘述）有点令人惊讶。相对于求差得到所需的密度。在三个间隔内分段定义。在时 $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

在中 $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

并且在， $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

该图将的曲线图覆盖在的 iid实现的直方图中。两者几乎无法区分，这表明公式的正确性。 $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

以下是几乎没有头脑的，蛮力的Mathematica解决方案。它几乎可以自动执行有关计算的所有操作。例如，它甚至可以计算结果变量的范围：

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

这就是所有的整合和差异化。（请耐心；计算需要花费几分钟。） $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

最后，模拟并与的图进行比较： $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— ub
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8

（+1），特别是要提醒人们，与其说密度卷积，不如说是“通常有助于使用累积分布函数”，尤其是当它们具有这种简单形式时。而且，你也该死的。

— Alecos Papadopoulos

在我了解之后，这看起来就像是我乐意接受的简洁解决方案。我更是一个微积分的人，而不是概率论的人。目前，我有三个问题：i）您如何使用CDF来获得

和

，ii）为什么

的积分下有

和

，以及iii）您如何从其形式获得解决方案的结果将是分段的吗？

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

— corey979

F

$F$

G

$G$

7

像OP和麻烦一样，我将使用独立性将其分解为更简单的问题：

$X = (a-d)^2$ $X$ $f(x)$

$Y = 4 b c$ $Y$ $g(y)$

$X + Y$ TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

which returns the pdf of $Z = X + Y$ as the piecewise function:

Here is a plot of the pdf just derived, say $h(z)$ :

Quick Monte Carlo check

The following diagram compares an empirical Monte Carlo approximation of the pdf (squiggly blue) to the theoretical pdf derived above (red dashed). Looks fine.

— wolfies
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