N正态id的乘积的近似分布？特例μ≈0

给定 iid和，寻找： $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

精确封闭形式分布近似值 $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
相同乘积的渐近（指数？）逼近

这是一个特殊情况，是一个更一般的问题。 $\mu_X \approx 0$

1.您是否有有关和？（例如，如果所有都很好。）（2）渐近法线逼近将是可怕的，因为渐近线看起来不会是法线。

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

我刚刚玩了一下。如果您有兴趣，则可以为iid的随机变量的乘积获得精确的封闭形式解。非零的情况会使事情复杂得多。

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— wolfies'2015-4-3

@whuber （1）用不同的和做一些蒙特卡洛之后，我发现分布在和表现得很好；现在，我想为和找到一个不错的表达式，类似于有一些不错的近似值。我通过泰勒展开建立了一些近似值，但是它们的行为不当。 （2）好吧，肯定会“看起来”像是具有卡方平方的法线的总和，因此，如果近似值“证明”了这一点，则可以简化为法线。

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

— Andrei Pozolotin

当，将通过对数正态分布很好地近似（如Barry-Esseen定理在所示）。

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber对Barry-Esseen的直接应用给出，的确不错，但是它一些结构：应该为负，应该取决于等，也许有更好的应用方法？

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

在零均值情况下（B部分）可以获得精确的解。

问题

令表示 iid变量，每个变量具有共同的pdf： $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

我们寻找的pdf ，因为 $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

解

两个这样的法线的乘积的pdf就是：

...我正在使用 mathStatica软件包中的MathematicaTransformProduct函数。支持范围是：

3、4、5和6法线的乘积是通过迭代应用相同的函数（此处为四次）获得的：

...其中，MeijerG表示Meijer G函数

通过归纳， iid随机变量的乘积的pdf 为： $n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

快速蒙特卡洛检查

这是比较的快速检查：

刚获得的理论pdf（当且）：红色虚线 $n = 6$ $\sigma=3$
经验蒙特卡洛pdf：弯曲的蓝色曲线

看起来不错！[弯曲的蓝色Monte曲线遮盖了确切的红色虚线]

— 狼人
source

太好了，谢谢你，科林。现在，我明白了为什么必须购买您的书了：-)也让我想知道看起来更简单。是时候利用我的Wolfram技能了。

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$

— Andrei Pozolotin