中位数是“度量”属性还是“拓扑”属性？

对于术语的轻微滥用，我深表歉意。我希望我下面的意思会清楚。

考虑随机变量。均值和中位数都可以用最优性标准来表征：均值是使最小的数字，而中位数是使。从这个角度来看，平均值和中位数之间的差异是用于评估偏差，平方或绝对值的“度量”的选择。$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

另一方面，中位数是（假定绝对连续性）的数字，即该定义仅取决于对值进行排序的能力，并且与它们有多少不同。这样的结果是，对于每个严格增加的函数，，这意味着它是“拓扑”的在“类似橡胶”的变换下保持不变。$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

现在，我已经完成了数学运算，并且我知道从最佳准则开始，我可以得出 -quantile，因此两者都描述相同的事物。但是我仍然感到困惑，因为我的直觉告诉我，依赖于“度量”的某些事物不能导致“拓扑”属性。$\frac12$

有人可以为我解决这个难题吗？

您推理的缺陷在于，依赖于度量的某些事物不能成为拓扑属性。

度量空间的紧凑性。可以根据度量标准进行定义：紧凑性表示空间是完整的（取决于度量标准），并且是完全有界的（取决于度量标准）。事实证明，在同胚状态下，该属性是不变的，确实可以仅根据拓扑定义（任何封面的有限子封面，通常的方式）。

另一个例子是各种同源性理论。在定义上，只有单数同源性才是真正的拓扑。所有其他元素，简单的，蜂窝的，De Rham（同调的，但请允许我稍微放松一些）等，都依赖于额外的结构，但结果却是等效的（并且使用起来相当容易）。

这在数学上涉及很多，有时定义某事物的最简单方法是根据某种辅助结构，然后证明所得的实体实际上根本不依赖于辅助结构的选择。