重复测量方差分析：正态性假设是什么？

我对重复测量方差分析中的正态性假设感到困惑。具体来说，我想知道究竟应该满足哪种常态。在阅读有关简历的文献和答案时，我遇到了这种假设的三种不同的措词。

每个（重复）条件中的因变量应正常分布。

人们常说rANOVA与ANOVA具有相同的假设，另外还有球形度。这就是Field的发现统计资料以及Wikipedia 关于该主题和Lowry的文章的主张。
残差（所有可能的对之间的差异？）应正态分布。

我发现在多个答案此声明CV（1，2）。通过将rANOVA 与配对t检验进行类比，这似乎也很直观。
应该满足多元正态性。

维基百科和此资源提到了这一点。另外，我知道，朗诺可以换用MANOVA，这可能值得这个要求。

这些等效吗？我知道多元正态性意味着DV的任何线性组合都是正态分布的，因此3.如果我正确理解后者，自然会包括2.。

如果这些都不相同，那么rANOVA的“真实”假设是什么？你能提供参考吗？

在我看来，对第一个主张的支持最大。但是，这与此处通常提供的答案不一致。

线性混合模型

由于@utobi的提示，我现在了解如何将rANOVA重新描述为线性混合模型。具体来说，为了建模血压随时间的变化，我将期望值建模为：其中是血压的测量值，是平均血压第个对象的压力，而为第个对象被测量的第次，

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ 表示该变化的血压是跨学科的不同了。两种效果都被认为是随机的，因为受试者的样本只是人群的随机子集，这是最主要的兴趣所在。

最后，我尝试考虑这对正常性意味着什么，但收效甚微。释义McCulloch和Searle（2001，p。35. Eq。（2.14））：

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

我明白这意味着

4.每个人的数据都需要正态分布，但这在很少的时间点进行测试是不合理的。

我用第三种表达的意思是

5.各个主题的平均值呈正态分布。请注意，这是上述三种基础之上的另外两种不同的可能性。

McCulloch，CE和Searle，SR（2001）。广义模型，线性模型和混合模型。纽约：John Wiley＆Sons，Inc.

— 法托39
source

只是给你一个线索。您可以使用线性混合模型（LMM）来表示rANOVA模型。一旦有了LMM，就可以立即看到隐含的正态性假设。看到这里（eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html）为LMMS的一些理论

— utobi

谢谢@utobi，为您提供的参考！确实，我研究了它的前几章，但是还没有弄清楚我的问题的答案。我对其进行了更新，以反映我所做的有限的进展。

— Fato39 2015年

对我来说，这似乎是一个非常好的问题。我投票决定不公开。

— gung-恢复莫妮卡

的确，每个人的数据都需要正态分布。但是，如果你看看你写的东西，所有的个人数据一旦被贬低（

减去关闭）将有一个平均的零和相同的方差（

）。因此，您可以假定所有降级的数据均来自单个正态分布。您可以查看残差以了解满足此假设的程度。

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

— 世纪

如果我们将其视为单变量模型，则这是最简单的重复测量方差分析模型：

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

$i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

$F$

如果您想将重复测量方差分析视为多元模型，则正态性假设可能会有所不同，并且我无法在您和我在Wikipedia上看到的范围之外进行扩展。

— 异方差吉姆
source

重复测量方差分析的正态性解释可以在这里找到：

了解重复测量方差分析假设以正确解释SPSS输出

$3 \rightarrow 1$ $3 \rightarrow 2$ $5$

— 费德里科·特德斯基
source

费德里科，谢谢您的回答。我已经知道了这种解释（请参见我的第二点和此处引用的第一个CV链接）。虽然我很欣赏CV答案的质量，但是在咨询不同来源时，我对问题的回答却有所不同（冲突）。因此，我希望有一个资料来源能明确或最终解决我在以上五点中提到的细微差别。

— Fato39年