参考：逆cdf的尾巴

我几乎可以肯定，我已经在统计数据中看到以下结果，但是我不记得在哪里。

如果是一个正随机变量，并且则到，其中是 cdf 。 $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

通过使用等式并通过考虑在被积体曲线下的区域的处的水平切口，可以很容易地从几何上看出这一点。 $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

您知道此结果的参考以及它是否有名称吗？

— 斯特凡·洛朗（StéphaneLaurent）
source

“更普遍”是零件集成的直接应用。几乎不需要参考！

— ub

@whuber我也希望获得有关第一个结果的参考。

— 斯特凡洛朗

您可能已经在stats.stackexchange.com/questions/18438上看到了它，或者至少看到了类似的东西。该结果是由于积分中的替换所致，这又是一个非常基本的要求，不会期望它在文献中被特别指出或被赋予特殊的名称。

— ub

@whuber 在您的链接中看不到

。此外，我提到的结果对于离散

也是正确的（通过将

作为序列并将更一般的语句中的

替换为

）。我认为，对于一般的

，第一个结果甚至是正确的。

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— 斯特凡·洛朗

我相信，只要用更经典的术语表述，就可以不加任何引用地使用它。粗略地说，这是：

为

与

，直接后果的：

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

并且控制收敛。在

可以有步长的一般情况下，需要做一些工作才能得到（左连续）逆

的语句。

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— 伊夫2015年

为了处理Yves在评论中建议的“小工作”，几何形状提出了严格而全面的证明。

如果愿意，可以将所有对区域的引用替换为整数，并将对“任意”的引用替换为通常的epsilon-delta参数。翻译很容易。

要设置图片，让为生存函数 $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

该图绘制了的一部分。（请注意，在曲线图中的跳跃：这个特殊的分布是不连续的）一个大的阈值被示出和一个小概率已被选择（以便）。 $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

我们准备好了：我们感兴趣的值（我们要显示的那个收敛到零）是白色的面积高度为且从到为基的矩形。让我们将此区域与的期望相关联，因为对我们来说唯一可用的假设是该期望存在并且是有限的。 $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

期望值的正部分是生存曲线下的区域（从到）： $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

因为必须是有限的（否则期望本身就不会存在并且是有限的），我们可以选择太大，以至于下和之间的面积占全部或几乎全部。 $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

现在所有零件都准备就绪：的图，阈值，较小的高度和右侧端点建议将分解为可分析的区域： $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

作为从上方变为零，白色矩形与基部的区域收缩到零，因为保持恒定。（这就是引入原因；这是此演示的关键思想。） $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
蓝色的面积可以做得比较接近，你可能会想，通过与适当大的启动，然后选择小。 $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
因此，区域遗留-这显然是不大于白色矩形用碱从到 -能任意小。（换句话说，只需忽略红色和金色区域即可。） $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

因此，我们将分为两部分，两部分的面积都收敛为零。 $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ 因此，，QED。 $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— ub
source