Questions tagged «moments»

时刻是随机变量特征（例如位置，比例）的摘要。也可用于小时刻。

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概率分布的“矩”又是什么“矩”？
我知道什么是矩，如何计算矩，以及如何使用矩生成函数获取高阶矩。是的，我知道数学。 现在，我需要润滑工作中的统计知识，我想我也应该问这个问题-困扰我大约几年了，回到大学后，没有教授知道答案，或者只是拒绝回答这个问题（诚实地） 。 那么“矩”一词在这种情况下是什么意思？为什么选择这个词？对我来说，这听起来不直观（或者我从没在大学时就这么听过：）想到它，我同样对它在“惯性矩”中的用法感到好奇；）但让我们暂时不关注它。 因此，分布的“时刻”是什么意思，它试图做什么，以及为什么要这样说！:)为什么有人在乎时刻？在这一刻，我对那一刻感到不舒服；） PS：是的，我可能也曾问过类似的方差问题，但我确实很重视直观的理解，而不是“在书中查找以找出问题” :)
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对数正态分布的矩估计量的偏差
我正在做一些数值实验，包括对对数正态分布进行采样，并尝试通过两种方法估算矩：ë [ X Ñ ]X∼LN(μ,σ)X∼LN(μ,σ)X\sim\mathcal{LN}(\mu, \sigma)E[Xn]E[Xn]\mathbb{E}[X^n] 看的样本均值XnXnX^n 通过使用的样本均值估算和，然后使用对数正态分布的事实，我们有。σ 2日志（X ），登录2（X ）é [ X Ñ ] = EXP （Ñ μ + （Ñ σ ）2 / 2 ）μμ\muσ2σ2\sigma^2log(X),log2(X)log⁡(X),log2⁡(X）\log(X), \log^2(X)E[Xn]=exp(nμ+(nσ)2/2)E[Xn]=exp⁡(nμ+(nσ)2/2)\mathbb{E}[X^n]=\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2) 问题是： 从实验上我发现，当我固定样本数量并将增加某个因子T 时，第二种方法的性能要比第一种更好。对此有一些简单的解释吗？μ,σ2μ,σ2\mu, \sigma^2 我附上一个图，其中x轴为T，而y轴为的值，比较的真实值（橙色线），到估算值。方法1-蓝点，方法2-绿点。y轴为对数刻度E[X2]E[X2]\mathbb{E}[X^2]E[X2]=exp(2μ+2σ2)E[X2]=exp⁡(2μ+2σ2)\mathbb{E}[X^2] = \exp(2 \mu + 2 \sigma^2) 编辑： 下面是一个最小的Mathematica代码，可以产生一个T的结果，并输出： ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample] (* Define variables *) n=2; …
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正态近似于均匀和分布的误差
一种近似于正态分布的幼稚方法是将大约均匀分布在上的IID随机变量加在一起，然后根据中心极限定理对它们进行重新缩放和重新缩放。（旁注：还有更精确的方法，例如Box-Muller变换。）IID随机变量的总和称为均匀总和分布或Irwin-Hall分布。100100100[0,1][0,1][0,1]U(0,1)U(0,1)U(0,1) 用正态分布近似均匀和分布时的误差有多大？ 每当出现这种类型的问题以近似IID随机变量的总和时，人们（包括我）都会提出Berry–Esseen定理，这是中心极限定理的有效形式，因为存在第三阶矩： |Fn(x)−Φ(x)|≤Cρσ3n−−√|Fn(x)−Φ(x)|≤Cρσ3n|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n} 其中是n个 IID随机变量的重新定标和的累积分布函数，\ rho是绝对的第三中心矩E |（X-EX）^ 3 |。，\ sigma是标准偏差，C是绝对常数，可以取为1甚至1/2。FnFnF_nnnnρρ\rhoE|(X−EX)3|E|(X−EX)3|E|(X-EX)^3|σσ\sigmaCCC1111/21/21/2 这是不令人满意的。在我看来，对于离散的二​​项式分布，Berry-Esseen估计最接近锐利，对于对称的二项式分布，最大误差为000。最大的错误来自最大的跳跃。但是，统一的总和分布没有跳跃。 数值测试表明，误差的减小比c / \ sqrt n更快c/n−−√c/nc/\sqrt n。 使用C=1/2C=1/2C=1/2，Berry–Esseen估计为|Fn(x)−Φ(x)|≤12132112√3n−−√≈0.650n−−√|Fn(x)−Φ(x)|≤121321123n≈0.650n|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n} 这对于n=10,20,40n=10,20,40n=10,20,40为约0.2050.2050.205，0.1450.1450.145，和0.1030.1030.103，分别。对于实际的最大差异n=10,20,40n=10,20,40n=10, 20, 40似乎是约0.002810.002810.00281，0.001390.001390.00139和0.0006920.0006920.000692，分别，这要小得多，并且似乎落入如c/nc/nc/n，而不是c/n−−√c/nc/\sqrt n。
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到底是什么时刻？它们是如何衍生的？
通常，我们通过“使总体矩等于其样本对等体”来介绍矩估计器的方法，直到我们估算出总体的所有参数为止。这样，在正态分布的情况下，我们只需要第一刻和第二刻，因为它们可以完全描述这种分布。 Ë（X）= μ⟹∑ñ我= 1X一世/ n= X¯Ë（X）=μ⟹∑一世=1个ñX一世/ñ=X¯E(X) = \mu \implies \sum_{i=1}^n X_i/n = \bar{X} Ë（X2）= μ2+ σ2⟹∑ñ我= 1X2一世/ nË（X2）=μ2+σ2⟹∑一世=1个ñX一世2/ñE(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 \implies \sum_{i=1}^n X_i^2/n 从理论上讲，我们最多可以将额外时刻计算为：ññn Ë（X[R）⟹∑ñ我= 1X[R一世/ nË（X[R）⟹∑一世=1个ñX一世[R/ñE(X^r) \implies \sum_{i=1}^nX_i^r /n 我该如何为真正的时刻建立直觉？我知道它们作为一个概念存在于物理学和数学中，但是我发现它们都不直接适用，特别是因为我不知道如何将抽象概念从质量概念扩展到数据点。该术语似乎在统计学中以特定方式使用，这与其他学科中的用法不同。 我的数据的什么特征决定了总共有多少（）个力矩？[R[Rr
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证明矩生成函数唯一确定概率分布
Wackerly等人的文字指出该定理“让和分别表示随机变量X和Y的矩产生函数。如果两个矩产生函数都存在并且对于所有t值，则X和Y具有相同的概率分布。” 没有证据表明其超出了本文的范围。Scheaffer Young 在没有证明的情况下也具有相同的定理。我没有Casella，但是Google图书搜索似乎没有在其中找到定理。mx(t)mx(t)m_x(t)my(t)my(t)m_y(t)mx(t)=my(t)mx(t)=my(t)m_x(t) = m_y(t) Gut的文本似乎具有证明的轮廓，但是没有提及“众所周知的结果”，还需要知道另一个未提供证明的结果。 有谁知道谁最初证明了这一点，并且该证明是否可以在任何地方在线获得？否则，将如何填写这一证明的细节？ 如果我不被问到这不是一个家庭作业问题，但我可以想象这可能是某人的家庭作业。我根据Wackerly的文字选了一个课程序列，一段时间以来，我一直在想知道这个证明。所以我认为是时候问了。
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第二矩法，布朗运动？
令BtBtB_t为标准的布朗运动。令Ej,nEj,nE_{j, n}表示事件{Bt=0 for some j−12n≤t≤j2n},{Bt=0 for some j−12n≤t≤j2n},\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},令其中表示指标函数。是否存在使得对于所有是否存在？我怀疑答案是肯定的。我尝试过弄乱第二时刻的方法，但没有太大用处。可以使用第二时刻方法显示吗？还是我应该尝试其他东西？Kn=∑j=2n+122n1Ej,n,Kn=∑j=2n+122n1Ej,n,K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},111ρ>0ρ>0\rho > 0P{Kn≥ρ2n}≥ρP{Kn≥ρ2n}≥ρ\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rhonñn
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力矩产生功能与特征功能之间的联系
我试图理解力矩产生函数和特征函数之间的联系。矩生成函数定义为： MX(t)=E(exp(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!+⋯+tnE(Xn)n!MX(t)=E(exp⁡(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!+⋯+tnE(Xn)n! M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!} 使用，我可以找到随机变量分布的所有时刻X。exp(tX)=∑∞0(t)n⋅Xnn!exp⁡(tX)=∑0∞(t)n⋅Xnn!\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!} 特征函数定义为： φX(t)=E(exp(itX))=1+itE(X)1−t2E(X2)2!+…+(it)nE(Xn)n!φX(t)=E(exp⁡(itX))=1+itE(X)1−t2E(X2)2!+…+(it)nE(Xn)n! \varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!} 我不完全了解为我带来的虚数信息。我看到，因此特征函数中不只有，但是为什么我们需要在特征函数中减去矩？数学思想是什么？iiii2=−1i2=−1i^2 = -1+++
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相同时刻的分布是否相同
以下内容与此处和此处的以前的帖子类似，但有所不同 给定两个允许所有阶次矩的分布，如果两个分布的所有矩都相同，那么它们是否是相同的分布ae？ 给定两个分配矩生成函数的分布，如果它们具有相同的矩，它们的矩生成函数是否相同？
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指数加权移动偏度/峰度
有众所周知的在线公式，用于计算过程的指数加权移动平均值和标准偏差。意思是(xn)n=0,1,2,…(xn)n=0,1,2,…(x_n)_{n=0,1,2,\dots} μn=(1−α)μn−1+αxnμn=(1−α)μn−1+αxn\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n 对于差异 σ2n=(1−α)σ2n−1+α(xn−μn−1)(xn−μn)σn2=(1−α)σn−12+α(xn−μn−1)(xn−μn)\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n) 从中可以计算标准偏差。 在线计算加权的第三和第四中心矩有相似的公式吗？我的直觉是，他们应该采取以下形式 M3,n=(1−α)M3,n−1+αf(xn,μn,μn−1,Sn,Sn−1)M3,n=(1−α)M3,n−1+αf(xn,μn,μn−1,Sn,Sn−1)M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1}) 和 M4,n=(1−α)M4,n−1+αf(xn,μn,μn−1,Sn,Sn−1,M3,n,M3,n−1)M4,n=(1−α)M4,n−1+αf(xn,μn,μn−1,Sn,Sn−1,M3,n,M3,n−1)M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1}) 从中可以计算出偏度和峰度但我无法找到简单的封闭式-函数f和g的形式表达式。 ķ Ñ = 中号4 ，Ñ / σ 4 Ñ ˚F 克γn=M3,n/σ3nγn=M3,n/σn3\gamma_n = M_{3,n} …
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