指数加权移动偏度/峰度

有众所周知的在线公式，用于计算过程的指数加权移动平均值和标准偏差。意思是$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

对于差异

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

从中可以计算标准偏差。

在线计算加权的第三和第四中心矩有相似的公式吗？我的直觉是，他们应该采取以下形式

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

和

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

从中可以计算出偏度和峰度但我无法找到简单的封闭式-函数f和g的形式表达式。 ķ Ñ = 中号4 ，Ñ / σ 4 Ñ ˚F $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

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编辑：更多信息。移动方差的更新公式是指数加权移动协方差公式的一种特殊情况，可以通过以下公式计算

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

其中$\bar{x}_n$和$\bar{y}_n$是$x$和y的指数移动平均值$y$。$x$和y之间的不对称$y$是虚幻的，当您注意到y- \ bar {y} _n =（1- \ alpha）（y- \ bar {y} _ {n-1}）时，这种不对称性消失了$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$。

像这样的公式可以通过写中心矩作为预期来计算，其中在期望的权重被理解为指数，并使用了一个事实，任何函数，我们有˚F （X $E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

使用这种关系可以很容易地得出均值和方差的更新公式，但是事实证明，对于第三和第四中心矩，这种方法更加棘手。

公式很简单，但是却不像问题中暗示的那么简单。

让是以前的EWMA，让，推测这是独立的。根据定义，对于恒定值，新的加权平均值为。为了符号上的方便，设置。令表示随机变量的CDF，表示其矩生成函数，因此$Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

使用Kendall和Stuart，令表示随机变量阶非中心矩；即。的偏斜度和峰度是在表达方面为 ; 例如，偏斜度被定义为其中$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

分别是第三和第二中心矩。

根据标准的基本结果，

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

要获得所需的非中心矩，请将后者的幂级数乘以四阶，并将结果与的项。$t$$\phi_Z(t)$

我认为下面的更新公式可在第三时刻起作用，尽管我很高兴有人检查它：

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

峰度的更新公式仍然开放...