什么是矩产生函数（MGF）？

您能以通俗易懂的方式以及一个简单的示例来解释它吗？

请尽量限制使用正式的数学符号。

让我们假设没有方程式的直觉是不可能的，并且仍然坚持将数学精简到非常本质，以了解正在发生的事情：我们正在尝试获取统计矩，在必须参考物理学之后，我们将其定义为随机变量功效的期望值。对于连续随机变量，原始的第矩是LOTUS：$k$

$$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$$

的时刻生成函数，是一个去这积分（公式1）走动通过，相反，执行：

$$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$$

$$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$$

为什么？因为它更容易并且存在可以通过扩展可以看出，MGF的一个梦幻般的财产麦克劳林系列的$\color{blue}{e^{\,tX}}$

$$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$$

考虑到此幂级数的两个方面的期望：

$$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$$

矩在此多项式“晾衣绳”上显示为“栖息”，可以通过简单地将次微分并在所有时刻经过一次较容易的积分（在等式（2）中）一次评估为零来剔除！当pdf是指数时，最容易集成的事实是最明显的。$k$

要恢复第个矩：$k$

$$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$$

最终需要区分的事实使它不是免费的午餐-最终，它是pdf 的双向Laplace变换，其指数变化了：

$$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$$

这样

$$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$$

实际上，这为我们提供了直觉的物理途径。拉普拉斯变换作用在并将其分解为瞬间。傅里叶变换的相似性是不可避免的：FT将函数映射到实线上的新函数，而Laplace将函数映射到复平面上的新函数。傅立叶变换将一个函数或信号表达为一系列频率，而拉普拉斯变换将一个函数解析为其矩。实际上，获得力矩的另一种方法是通过傅立叶变换（特征函数）。拉普拉斯变换中的指数项通常为其中$\color{green}{\text{pdf}}$e − s t s = σ + i$e^{-st}$$s=\sigma + i\,\omega$，对应于真实指数和虚正弦信号，以及诸如屈服重复此：

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[ 摘自Steven W. Smith的科学家和工程师信号处理指南 ]

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因此，当时，函数以某种方式将分解为其“组成频率”从等式 （4）：$M_X(t)$$\text{pdf}$$\sigma=0.$

$$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$$

这就给我们留下了用红色表示的那一部分表达式的不正确积分，对应于pdf的Fourier变换。

通常，函数的拉普拉斯变换极点的直觉是它们会提供函数的指数（衰减）和频率分量的信息（在本例中为pdf）。

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为了回应评论中有关从切换到，这是一个完全具有战略意义的举措：一个表达式不能接follow而来。打个比方：我们拥有自己的汽车，每当需要处理一些事务时，我们都可以自由驶入城市（阅读，对等式积分，无论在每个单独的瞬间有多么艰难） 。相反，我们可以做一些完全不同的事情：我们可以开车到最近的地铁站（阅读，只需解一次方程），然后从那里乘坐公共交通工具到达我们需要参观的每个地方（阅读，得到等式中的积分的导数以提取$X^k$$e^{tx}$$(1)$$(2)$$k$$(2)$$k$-我们需要的第一个时刻，知道了（由于等式），所有时刻都“藏在”那里，并通过评估为隔离）。$(3)$$0$

用大多数外行术语来说，这是一种将概率分布的所有特征编码为一个简短短语的方法。例如，如果我知道分布的MGF为 我可以通过采用泰勒展开的第一项来找出该分布的均值： 如果您知道自己在做什么，那比期望值要快得多概率函数。

$$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$$ $$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$$

而且，由于此MGF编码了有关发行版的所有内容，因此，如果您知道如何操作该函数，则可以一次对发行版的所有特征进行操作！为什么我们不总是使用MGF？首先，并非在所有情况下MGF都是最简单的工具。其次，MGF并不总是存在。

外行之上

假设您具有标准正态分布。您可以通过陈述其PDF来表达您所知道的一切：

$$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

您可以计算其矩，例如平均值和标准偏差，并将其用于变换后的变量和随机法线等上的函数。

您可以将正态分布的MGF视为PDF的替代方案。它包含相同数量的信息。我已经展示了如何获得均值。

为什么我们需要替代方法？如我所写，有时只是更方便。例如，尝试从PDF计算标准法线的方差： 并不是那么困难，但是使用MGF轻松得多：

$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$$ $M(t)=e^{t^2/2}$ $$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$$