力矩产生函数和方差的存在


28

具有有限均值和无穷方差的分布是否可以具有矩生成函数?那么具有有限均值和有限方差但无限高矩的分布呢?


4
提示:如果mgf存在于零附近的间隔中,例如对于某些说,则考虑的泰勒展开和积分的单调性以发现解。:)(t0,t0)t0>0ex
主教

2
忽略收敛问题(仅将mgf作为正式幂级数考虑),如果任何时刻不存在,mgf可能是什么?
ub

红衣主教能否请您提供一些有关您提出的建议的参考?

Answers:


51

这个问题提供了一个很好的机会来收集有关矩生成函数mgf)的一些事实

在下面的答案中,我们执行以下操作:

  1. 证明如果mgf对于至少一个(严格)正值 一个负值是有限的,则所有正矩都是有限的(包括非积分矩)。X
  2. 证明上面第一项中的条件等价于尾部具有指数界的的分布。换句话说,的尾部下降的速度至少与指数随机变量下降速度一样快(最大为常数)。XXZ
  3. 如果满足条件1中的条件,请通过其mgf简要描述分布特征。
  4. 探索一些示例和反例以帮助我们的直觉,尤其是表明我们不应该对mgf的有限性缺乏过多的重视。

这个答案很长,对此我深表歉意。如果最好将其放置在例如博客文章或其他地方,请随时在评论中提供此类反馈。

mgf对这些时刻怎么说?

随机变量的mgf 定义为。请注意,始终存在,因为它是非负可测量函数的积分。但是,如果不是 有限的。如果它有限的(在正确的位置),则对于所有(不一定是整数),绝对矩(因此也为有限)。这是下一个主张的主题。XFm(t)=EetXm(t) p>0E|X|p<EXp

命题:如果存在和使得和,那么的所有阶的矩存在并且是有限的。tn<0tp>0m(tn)<m(tp)<X

在探究证明之前,这里有两个有用的引理。

引理1:假设存在和。然后,对于任何,。 证明。这来自于凸度和积分的单调性。对于任何这样的,存在从而。但是,然后 因此,通过积分的单调性,。tntpt0[tn,tp]m(t0)<
ext0θ[0,1]t0=θtn+(1θ)tp

et0X=eθtnX+(1θ)tpXθetnX+(1θ)etpX.
Eet0XθEetnX+(1θ)EetpX<

因此,如果mgf在任意两个不同的点处是有限的,则对于这些点之间的间隔中的所有值都是有限的。

引理2空间的嵌套Lp):对于,如果,则。 证明:此答案和相关注释中给出了两种方法。0qpE|X|p<E|X|q<

这给了我们足够的继续命题证明的能力。

命题的证明。如果并且如命题中所述存在,则取,我们通过第一个引理知道和。但是, 并且右侧由非负项组成,因此,特别是对于任何固定 现在,假设。积分的单调性产生。因此,所有tn<0tp>0t0=min(tn,tp)>0m(t0)<m(t0)<

et0X+et0X=2n=0t02nX2n(2n)!,
k
et0X+et0X2t02kX2k/(2k)!.
Eet0X+Eet0X<EX2k<甚至瞬间是有限的。引理2立即使我们能够“填补空白”,并得出结论,所有时刻都必须是有限的。X

结果

关于当前问题的结论是,如果任意时刻是无限的或不存在,我们可以立即 得出结论:在包含原点的开放区间中,mgf不是无限的。(这只是该命题的矛盾陈述。)X

因此,上述命题提供了“正确的”条件,以便基于的mgf 来谈论的矩。X

指数界尾巴和mgf

命题:通过MGF处于打开间隔有限 包含原点当且仅当的尾部被指数有界的,即,对于某些和。m(t)(tn,tp)FP(|X|>x)Cet0xC>0t0>0

证明。我们将分别处理右尾巴。左尾巴的处理完全类似。

()假设对于某些。然后,的右尾是指数有界的;换句话说,存在和这样 要看到这一点,请注意,对于任何,根据Markov不等式, 取和来完成证明的这个方向。m(t0)<t0>0FC>0b>0

P(X>x)Cebx.
t>0
P(X>x)=P(etX>etx)etxEetX=m(t)etx.
C=m(t0)b=t0

()假设存在和,从而 。然后,对于, 其中第一个等式源自a关于非负随机变量期望值的标准事实。选择任意使得 ; 那么,右侧的积分是有限的。C>0t0>0P(X>x)Cet0xt>0

EetX=0P(etX>y)dy1+1P(etX>y)dy1+1Cyt0/tdy,
t0<t<t0

这样就完成了证明。

给定其mgf的分布唯一性注释

如果mgf在包含零的开放间隔中是有限的,则关联分布的特征在于其矩,即,它是唯一具有矩。一旦掌握了一些有关特征功能的事实(相对简单),标准证明就很短。可以在大多数现代概率文本(例如Billingsley或Durrett)中找到详细信息。此答案中讨论了几个相关的问题。μn=EXn

例子和反例

a)对数正态分布:对于某些正态随机变量如果,则为对数正态分布。因此的概率为1。因为所有,这立即告诉我们对于所有,。因此,mgf在非负半线上是有限的(注意:我们仅使用的非负来确定这一事实,因此从所有非负随机变量中都是成立的。)XX=eYYX0ex1x0m(t)=EetX1 t<0(,0]X

但是,对于所有,。我们将标准对数正态作为典型案例。如果,则。通过变量的变化,我们有 对于并且足够大的,我们可以得到。但是, 对于任何,因此对于所有,mgf都是无限的。m(t)= t>0x>0ex1+x+12x2+16x3

EetX=(2π)1/2eteuu2/2du.
t>0uteuu2/2t+tu
Ket+tudu=
Kt>0

另一方面,对数正态分布的所有矩都是有限的。因此,对于上述命题的结论,mgf在大约零间隔内的存在不是必需的

b对称对数正态:通过“对称化”对数正态分布,我们可以获得更极端的情况。考虑的密度,使得 从前面的示例不难看出,mgf 对于是有限的。但是,偶数矩与对数正态矩完全相同,奇数矩都为零!因此,MGF存在无处(除了在它总是存在的由来),但我们可以保证所有订单的有限时光。f(x)xR

f(x)=122π|x|e12(log|x|)2.
t=0

c柯西分布:该分布的mgf对于所有都是无限的,但绝对矩对于是有限的。用于MGF结果遵循,因为为,因此 的证明是相似的。(也许不太为人所知的是柯西确实存在的矩。请参见此答案t0E|X|pp1t>0exx3/6x>0

EetX1t3x36π(1+x2)dxt312π1xdx=.
t<00<p<1

d半柯西分布:如果是(标准)柯西,则称半Cauchy随机变量。然后,从前面的示例可以很容易地看出对于所有 ; 但是,对于是有限的。 XY=|X|EYp=p1EetYt(,0]


7
感谢您发布此内容-考虑到技术性,这很容易理解-做得很好。
2012年

您知道希尔伯特空间中mgf的任何结果吗?
badatmath
By using our site, you acknowledge that you have read and understand our Cookie Policy and Privacy Policy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.