力矩产生功能与特征功能之间的联系

我试图理解力矩产生函数和特征函数之间的联系。矩生成函数定义为：

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

使用，我可以找到随机变量分布的所有时刻X。 $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

特征函数定义为：

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

我不完全了解为我带来的虚数信息。我看到，因此特征函数中不只有，但是为什么我们需要在特征函数中减去矩？数学思想是什么？ $i$ $i^2 = -1$ $+$

probability moments mgf method-of-moments characteristic-function

— 朱塞佩
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重要的一点是，力矩生成函数并不总是有限的！（例如，请参阅此问题。）如果您要建立有关分布收敛的一般理论，则希望能够使它与尽可能多的对象一起使用。由于，特征函数对于任何随机变量当然都是有限的。

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— 主教

泰勒展开式的相似之处仍然允许人们读取时刻（如果存在），但是请注意，并非所有分布都具有时刻，因此对这些功能的兴趣远不止于此！:)

— 红衣主教

要注意的另一点是，MGF是随机变量的拉普拉斯变换，而CF是傅里叶变换。这些积分变换之间存在基本关系，请参见此处。

— tchakravarty

我以为CF是概率分布的逆傅立叶变换（而不是傅立叶变换）？

— 朱塞佩

区别只是指数中的符号问题，可能只是乘法常数。

— Glen_b-恢复莫妮卡

如评论中所述，特征函数始终存在，因为它们需要对模数的函数进行积分。但是，力矩生成函数不需要存在，因为特别是它需要存在任何顺序的力矩。 $1$

当我们知道对于所有可积时，我们可以为每个复数定义。然后我们发现，和。 $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— 戴维·吉拉多（Davide Giraudo）
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