分布的时刻-是否用于部分或更高时刻？

通常使用分布的第二，第三和第四时刻来描述某些属性。局部矩或高于第四矩的矩是否描述了分布的任何有用特性？

distributions moments partial-moments

— 爱德华达斯
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没有一个答案，但有一点要记住的是，高阶矩需要很多更多的观测来获得第一SIG-图。

— 同构

使用局部力矩的帖子是stats.stackexchange.com/questions/94402/…。因此，局部时刻有一定用处，并且可能会更多地使用。

— kjetil b halvorsen

Answers:

除了一些数字（例如2）的特殊属性外，与整数矩相反，唯一选择整数矩的真正原因是方便。

更高的力矩可以用来理解尾巴行为。例如，方差为1 的居中随机变量具有亚高斯尾部（即对于某些常数）仅且仅当如果每和一些常数。 $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— 马克·梅克斯
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您为[sub]高斯尾巴陈述的结果看起来不正确。根据您引用的边界[ ]，居中的高斯变量的范数不会[在限制内]超过1，但是rv 的范数往往会它的本质是，对于高斯变量为。

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— 罗纳夫2010年

感谢您抓住这一点。我忘记了RHS的指数；现在已更正。

— Mark Meckes 2010年

您可以为此结果提供参考吗？

— 加里

@Gary：不幸的是，我不知道（公开或在线）参考资料；它是我所在领域的民俗学的一部分，在课程中有详细说明，但在论文中却被写下为“简单而知名”。不过，证明很容易。给定尾部估计值，矩估计值来自各个部分的积分（即）和斯特林公式。给定力矩估计值，尾端估计值将通过应用马尔可夫不等式并对优化。

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes 2011年

当我听到人们问到第三和第四时刻时，我变得可疑。人们提出主题时经常会想到两个常见的错误。我并不是说您一定在犯这些错误，但它们确实经常发生。

首先，听起来好像他们暗中相信分布可以归结为四个数字。他们怀疑仅仅两个数字是不够的，但是三个或四个应该足够。

其次，这听起来像是在回想过去的统计数据的矩匹配法，而这种方法在现代统计中已经大大地丧失了最大似然法。

更新：我将此答案扩展为博客文章。

— 约翰·D·库克
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一个较高矩的使用示例（解释是一个更好的限定词）：单变量分布的第五矩测量了其尾部的不对称性。

— 用户603
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但是，第三（中心）时刻是否以更稳定，更实际的方式进行呢？

— ub

@Whuber：>第三个是测量整体不对称性，这与尾部不对称性不同。由于指数较高，因此第五位的值几乎完全由尾部确定。

— user603 2010年

@Kwak：感谢您澄清您的意思。当然，相同的响应可以应用于任何奇数时刻：它们在尾部越来越远地测量不对称性。

— ub

@韦伯：>当然。请注意，即使对于像高斯这样的公平尾部分布，到第7时刻，您已经在比较最大值和最小值了。

— user603 2010年

@Kwak：两个快速跟进问题；如果您不想的话，无需回应。（1）“公平的尾巴”？（2）高斯的最小和最大是多少？

— ub