相同时刻的分布是否相同

以下内容与此处和此处的以前的帖子类似，但有所不同

distributions lognormal moments mgf

— 提姆
source

根据问题2，我通常认为，如果两个函数具有相同的MGF（如果它存在于0的开放邻域中），则它们遵循相同的分布。不幸的是，我不知道该证明，因为它很复杂。希望能有所帮助。

— nicefella 2014年

@nicefella证明是相对容易的：以虚值评估MGF可以给出特征函数，可以将其求反以产生分布。如果MGF在原点附近进行分析，则可以进行反演。

— ub

让我以相反的顺序回答：

2.是的。如果它们的MGF存在，它们将相同*。

看到这里，并在这里例如

确实，这是根据您在帖子中给出的结果得出的；如果MGF唯一地**确定分布，并且两个分布具有MGF，并且它们具有相同的分布，则它们必须具有相同的MGF（否则，您将拥有“ MGF唯一确定分布”的反例）。

*对于“相同”的某些值，因为该短语“几乎无处不在”

**“ 几乎到处都是 ”

肯德尔（Kendall）和斯图尔特（Stuart）列出了一个连续的发行家族（可能最初是由于斯蒂尔杰斯（Stieltjes）或那个年份的某人，但我的回忆尚不清楚，已经过去了几十年），它们的时序顺序相同，但有所不同。

Romano和Siegel所著的书（概率与统计中的反例）在第3.14和3.15节（第48-49页）中列出了反例。（实际上，看着他们，我认为这两个都在肯德尔和斯图尔特。）

Romano，JP和Siegel，AF（1986年），《
概率与统计的反例》。
博卡拉顿：查普曼和霍尔/ CRC。

他们以3.15的价格归功于Feller，1971年，第227页

第二个例子涉及密度家庭

F （ X; α ） = \frac{1个}{24} 经验值 （ - X^{1个 / 4} ） [1个 - α 罪 （ X^{1个 / 4} ）] ， X > 0; 0 < α < 1个

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

密度随着变化而变化，但是力矩序列是相同的。 $\alpha$

矩序列相同就涉及将分成多个部分 $f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

然后表明第二部分对每个时刻的贡献为0，因此它们都与第一部分的时刻相同。

这是两种密度的样子。蓝色是在最左限（）的情况，绿色是。右侧图是相同的，但轴上具有对数对数刻度。 $\alpha=0$ $\alpha=0.5$

相同时刻，不同密度的示例

也许更好的是，采用更大的范围并在x轴上使用第四根标度，使蓝色曲线笔直，绿色曲线像其上，下的正弦曲线一样移动，如下所示：

在此处输入图片说明

蓝色曲线上方和下方的摆动（无论幅度较大还是较小）都会使所有正整数矩保持不变。

请注意，这也意味着我们可以通过选择具有不同并采用和的50-50混合来获得所有奇数矩均为零但非对称的。结果必须使所有奇数矩都抵消，但是两个半部分并不相同。 $X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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谢谢！在您回答我的第二个问题时，“对于某些'相同'的值”是什么意思？您能反问我的第一个问题吗？

— 蒂姆（Tim）

它只是对上一个问题中“几乎无处不在”引起的必要资格的引用。因此，反例可以查看几乎在所有地方都相同但在可数点子集上不同的密度函数-我之前已经为您提供了一个例子。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

对于我的第一个问题（根据您对第二个问题的回答是，对上一个问题的回答），是否所有反例都属于两个分布都不都允许矩生成函数的情况？

— 2014年

我相信我链接到红衣主教的回答中，“如果mgf在包含零的开放区间中是有限的，则相关联的分布由其矩来表征”，这必然是这样。如果mgf在这种意义上不是有限的，那是不通过其矩来刻画分布的唯一方法。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

第一个问题已在stats.stackexchange.com/questions/25010/…和OP的最新问题stats.stackexchange.com/questions/84158/…中得到了回答。费勒的例子归因于斯图尔特和奥德（Stuart＆Ord）的斯蒂尔杰斯（Stieltjes）（比费勒还早）。

— ub