偏度为零且峰度为零的非正态分布？

主要是理论问题。是否有非正态分布的前四个矩等于正态分布的示例？它们在理论上可以存在吗？

是的，偏度和峰度都为零的示例相对容易构建。（下面的示例（a）至（d）也具有Pearson平均中值偏度0）

（a）例如，在这个答案中，举一个例子，取50-50的伽玛变量（我称）和负数的第二个负数的混合物，其密度如下所示：$X$

显然，结果是对称的而不是正态的。scale参数在这里并不重要，因此我们可以使其成为1。仔细选择gamma的形状参数会产生所需的峰度：

1. 根据它基于的伽玛变量，可以很容易地计算出该双伽玛（）的方差：。$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. 变量的第四中心矩与，对于伽玛（）为$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

结果，峰度为。这是时，这恰好当。$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

（b）我们还可以创建一个示例，将两个制服按比例混合在一起。令并令，并令。显然，通过考虑是对称的并且具有有限的范围，我们必须使；偏度也将为0，中心矩和原始矩将相同。$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$。

同样，，因此峰度为$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

如果我们选择，则峰度为3，并且密度如下所示：$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

（c）这是一个有趣的例子。令，对于。$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

令为和的50-50混合物：$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

通过对称性（我们还需要是有限的，但是给定是有限的，我们有）$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

通过对称（以及存在绝对的第三矩的事实）偏斜= 0

第四刻：$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

峰度=$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

因此，当，峰度为3。上面是这种情况。$\lambda=\frac12$

（d）到目前为止，我的所有示例都是对称的，因为对称答案更容易创建-但也可以使用非对称解。这是一个离散的例子。

如您所见，这些示例都不是特别“正常”的。制作具有相同属性的任意数量的离散，连续或混合变量将很简单。尽管我的大多数示例都是以混合物的形式构造的，但是混合物没有什么特别之处，除了它们通常是一种便捷的方式来以所需的方式进行属性分配，有点像使用Lego来构建事物。

该答案提供了有关峰度的其他一些详细信息，这些细节应使构建其他示例所涉及的一些注意事项更加清楚。

您可以用类似的方式匹配更多的时刻，尽管这样做需要更多的努力。但是，由于存在法线的MGF，因此无法将法线的所有整数矩与某些非正态分布进行匹配，因为那将意味着它们的MGF匹配，这意味着第二分布也为正态分布。

Glen_b提出了很好的观点。我只考虑将Dirac Delta功能作为工厂的附加功能。正如Wikipedia所指出的那样，“ DDF是实数行上的通用函数或分布，除零处以外，其他所有地方均为零，并且在整个实数行上均为1的整数”，其结果是DDF的所有较高矩都为零。

保罗·狄拉克（Paul Dirac）在其1931年出版的《量子力学原理》一书中将其应用于量子力学，但其起源可追溯至傅立叶，莱斯贝格，柯西和其他学者。DDF在建模例如蝙蝠击打棒球的裂缝的分布时，也具有物理类似物。