证明矩生成函数唯一确定概率分布

Wackerly等人的文字指出该定理“让和分别表示随机变量X和Y的矩产生函数。如果两个矩产生函数都存在并且对于所有t值，则X和Y具有相同的概率分布。” 没有证据表明其超出了本文的范围。Scheaffer Young 在没有证明的情况下也具有相同的定理。我没有Casella，但是Google图书搜索似乎没有在其中找到定理。 $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

Gut的文本似乎具有证明的轮廓，但是没有提及“众所周知的结果”，还需要知道另一个未提供证明的结果。

有谁知道谁最初证明了这一点，并且该证明是否可以在任何地方在线获得？否则，将如何填写这一证明的细节？

如果我不被问到这不是一个家庭作业问题，但我可以想象这可能是某人的家庭作业。我根据Wackerly的文字选了一个课程序列，一段时间以来，我一直在想知道这个证明。所以我认为是时候问了。

— 克里斯·西莫卡特（Chris Simokat）
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相关：（i）mgfs的反转和（ii）矩生成函数和方差的存在

— 主教

如果您可以访问Billingsley的“ 概率和测度”文本，那么我将在标题为“时刻的方法”的部分中对此进行讨论。（对于模糊性，我们深表歉意，因为我目前尚未掌握。）如果我没记错的话，他所使用的证明依赖于特征函数的相应结果，但这可能并不完全令人满意。当然，这（超出）超出了Wackerly文本预期的背景范围。

— 红衣主教

哇，@ cardinal，您对这些问题的回答非常出色，非常有帮助，谢谢。感谢您的文字建议，我应该保留一份副本。

— 克里斯·西莫卡特

@cardinal在看到您的笔记之前，我访问了Billigsley，并在以前的回答中添加了对证明的描述。

— 迈克尔·R·切尼克

关于历史（“谁最初证明了这一点？”），拉普拉斯似乎在1785年就将特征函数用于此类工作，并在1810年开发出了一般的反演公式（这是证明的关键）。请参阅安德斯·霍尔德（Anders Hald），数理统计1750至1930年的历史，第17章

— whuber

Answers:

对此的一般证明可以在Feller中找到（概率论及其应用简介，第2卷）。这是一个涉及拉普拉斯变换理论的反演问题。您是否注意到mgf与Laplace变换有惊人的相似之处？有关使用拉普拉斯变换的信息，请参见Widder（Calcus Vol I）。

特殊情况的证明：

假设X和Y是随机varaibles在两个取唯一可能的值{ }。此外，假设X和Y对于所有t都具有相同的mgf：为简单起见，我们将，我们将定义 $0, 1, 2,\dots, n$

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) = \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

。为

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

现在

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} s^{y} f_{Y} (y) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{Y} (x) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} [f_{X} (x) - f_{Y} (x)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

上面只是s中具有多项式

的多项式。它可以是对于s的所有值为零，唯一的方法是，如果

。所以，我们有

对于

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} c_{x} = 0 \forall s > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

。

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$ 。

$X$ $Y$ $X$ $Y$

— ha
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主要是力矩产生函数唯一地确定分布。

— Argha 2012年

您正在讨论的定理是概率/测度理论的基本结果。在概率或统计理论的书中更可能找到这些证明。我发现了Hoel Port and Stone pp 205-208中给出的特征函数的相似结果

塔克pp 51-53

and Chung pp 151-155这是第三版。我有第二版，是指1974年出版的第二版中的页码。

我发现很难找到mgf的证明，但是您可以在Billingley的书《概率与测量》（Probability and Measure）第342-345页中找到它。在342页上，定理30.1提供了解决矩问题的定理。在第345页上，比林斯利陈述了这样的结果：如果概率测度具有在围绕0的区间上定义的矩生成函数M（s），则定理30.1的假设得到满足，因此该测度由其矩确定。但是这些时刻s由M（s）确定。因此，如果M（s）存在于0附近，则该度量由其力矩生成函数确定。因此，此逻辑以及他为定理30.1给出的证明证明了结果。Billingsley还评论说，该解决方案要行使26。

— 迈克尔·R·切尼克
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钟在哪里？您是不是偶然指的是161-165页？即使这样，它也要处理OP要求的特征函数，而不是力矩生成函数。

— 主教

@cardinal是的，我知道。我提到了特征函数的结果，因为这是我到目前为止发现的结果。就像我说的那样，Chung中的页码是基于第二版的。我不知道它在第三版中出现的位置。我认为应该有一些来源可以得到mgfs的结果。

— Michael R. Chernick

我投票赞成，因为我也感谢您的回答，因此感谢您抽出宝贵的时间。

— 克里斯·西莫卡特

$X$ $M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

为了证明力矩产生函数确定分布，至少有两种方法：

$M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ ，依次由 $M_X$ . This proof can be found in Section 30 of Billingsley, P. Probability and Measure.
To show that $M_X$ is analytic and can be extended to $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ , so that $M_X(z)=Ee^{zX}$ , so in particular $M_X(it)=\varphi_X(t)$ for all $t\in\mathbb{R}$ , and then use the fact that $\varphi_X$ determines $F_X$ . For this approach, see Curtiss, J. H. Ann. Math. Statistics 13:430-433 and references therein.

At undergraduate level, almost every textbook works with the moment generating function and states the above theorem without proving it. It makes sense, because the proof requires far more advanced mathematics than undergraduate level allows.

At the point when students have all the tools needed in the proof, they also have the maturity to work with the characteristic function $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$ instead. Almost every graduate textbook takes this path, they prove that the characteristic function determines the distribution and basically ignore moment generating functions altogether.

— user334639
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Today, mgfs shouldnt be ignored as thry are much more useful numerically than the characteristic function

— kjetil b halvorsen

Indeed! And yet I have never seen a textbook that emphasizes numerical methods but has deep enough math to give a proof of the Uniqueness Theorem.

— user334639