为什么布朗桥的最高点具有Kolmogorov-Smirnov分布？

从Kolmogorov-Smirnov检验可知Kolmogorov-Smirnov分布。但是，它也是布朗桥最高点的分布。

由于这对我而言远非显而易见，所以我想请您对这种巧合进行直观的解释。也欢迎参考。

— 拉斯穆斯
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@GaBorgulya：您更改了什么？

— Rasmus

看到这里和这里。

— 主教

Answers:

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

其中 $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

根据CLT，您有 $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

这是直觉...

布朗桥具有方差http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge取代由。这是一个 ... $B(t)$ $t(1-t)$ $t$ $F(x)$ $x$

您还需要检查协方差，因此对于（），其中是其中，。 $x_1,\dots,x_k$ $(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$ $(B_1,\dots,B_k)$ $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ $\Sigma=(\sigma_{ij})$ $\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

在困难的部分是要表明，该限制的suppremum的分布是极限的分布确...了解为什么发生这种情况，需要一些经验过程理论，看书如范德华特和Welner（不容易）。该定理的名称是Donsker定理http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

— 罗宾吉拉德
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我们不应该将CLT应用于所有有限维边际分布吗？

— 拉斯姆斯（Rasmus）2010年

您要求一个直观的答案:)我也不选择麻烦的数学部分来打扰您，因为这部分表明所有t的收敛都表示（在法律上）最高的收敛...您是否希望我完成回答？

— 罗宾吉拉德

亲爱的罗宾吉拉德，我想你的回答是正确的。谢谢！

— 拉斯姆斯（Rasmus）2010年

实际上，最困难的部分是显示弱收敛。然后，从连续映射定理直接得出至上的收敛。该结果可以在Billingsley的“概率测度收敛”中找到。范德法特（Van der Vaart）和威尔纳（Wellner）给出了更一般的结果，他们的书确实非常非常艰难:)

— mpiktas 2011年

@robingirard我个人很想看到所有“棘手的数学部分”的“完整答案”

— StatsPlease 17'Jul 5'23

对于Kolmogorov-Smirnov，请考虑原假设。它说样本是从特定分布中提取的。因此，如果构造样本的经验分布函数 $n$ ，在无限的数据的极限，它会收敛到基础分布。 $f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

对于有限的信息，它将关闭。如果测量值之一是，则在，经验分布函数会增加。我们可以将其视为随机游走，它被约束为在真实分布函数上开始和结束。一旦您知道了这一点，便会仔细阅读文献，以获取有关随机游走的大量信息，以找出这种游走的最大预期偏差是多少。 $q$ $x=q$

您可以对经验分布函数和基础分布函数之间的任何范数进行相同的技巧。对于，这称为Cramer-von Mises检验。我不知道针对任意实数，正数的所有此类测试的集合构成了任何种类的完整类，但是看这可能是一件有趣的事情。 $p$ $p=2$ $p$

— 用户873
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