Jeffreys Prior用于均值和方差未知的正态分布

我正在阅读先验分布，并为均值和方差未知的正态分布随机变量的样本计算了Jeffreys Prior。根据我的计算，以下适用于现有杰弗里：

p （ μ ， σ^{2} ） = \sqrt{d Ë Ť （ 一世 ）} = \sqrt{d Ë Ť （ \begin{matrix} 1个 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1个 / （ 2 σ^{4} ） \end{matrix} ）} = \sqrt{\frac{1个}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1个}{σ^{3}} 。

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$ 在这里，

I

$I$ 是费舍尔的信息矩阵。

但是，我还阅读了以下出版物和文件：

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ 见第2.2节中卡斯和瓦塞尔曼（1996）。
参见第25页中羊和Berger（1998） $p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$

如Jeffreys Prior那样，均值和方差未知的正态分布。杰弗里斯先验的“实际”是什么？

— 努西格
source

Answers:

我认为这种差异是由作者是否考虑过密度解释或密度过。支持这种解释，确切的事情，卡斯和瓦塞尔曼写入是而羊和Berger写入 $\sigma$ $\sigma^2$

π （ μ ， σ ） = 1个 / σ^{2} ，

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π （ μ ， σ^{2} ） = 1个 / σ^{4} 。

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— 丹达
source

谢谢，我忽略了这一点。然而，这仍然没有解释之间的差异

和

。

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig 2015年

实际上，具有现有的

是一样的具有现有

，由于杰弗里斯现有的重新参数化属性：

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

与

的雅可比矩阵

，即，

。

π （ μ ， σ ） = π （ μ ， σ^{2} ） d Ë Ť （ Ĵ_{F} ） \propto \frac{1个}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1个}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

Ĵ_{F} = （ \begin{matrix} 1个 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix} ）

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig 2015年

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

吉姆·伯杰（Jim Berger）仍然是一名活跃的科学家，因此请确保您可以直接与他联系：stat.duke.edu/~berger

— A. Donda

$\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π （ μ ， σ ） 〜 1个 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π （ μ ， σ^{2} ） 〜 1个 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— 扎祖祖博士
source

σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— 乔恩·比克勒（Jorne Biccler）
source

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

（ μ ， σ^{2} ） | d 〜 ñ χ^{- 1个} （ \bar{X} ， ñ ， ñ ， \frac{1个}{ñ} \sum （ X_{一世} - \bar{X} ）^{2} ） 。

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$