驯服偏斜…为什么偏斜功能这么多？

我希望对该社区的四种偏斜类型有更多的了解。

我所指的类型在http://www.inside-r.org/packages/cran/e1071/docs/skewness帮助页面中有所提及。

帮助页面中未提及旧方法，但尽管如此，我还是将其包括在内。

require(moments)
require(e1071)


x=rnorm(100)
n=length(x)
hist(x)


###############type=1
e1071::skewness(x,type=1)
sqrt(n) * sum((x-mean(x))^3)/(sum((x - mean(x))^2)^(3/2)) #from e1071::skewness source
m_r=function(x,r) {n=length(x); sum((x - mean(x))^r/n);} ##from e1071::skewness help
g_1=function(x) m_r(x,3)/m_r(x,2)^(3/2)
g_1(x) ##from e1071::skewness help
moments::skewness(x) ##from e1071::skewness help
(sum((x - mean(x))^3)/n)/(sum((x - mean(x))^2)/n)^(3/2) ##from moments::skewness code, exactly as skewness help page


###############type=2
e1071::skewness(x,type=2)
e1071::skewness(x,type=1) * sqrt(n * (n - 1))/(n - 2) #from e1071::skewness source
G_1=function(x) {n=length(x); g_1(x)*sqrt(n*(n-1))/(n-2);} #from e1071::help
G_1(x)
excel.skew=function(x) { n=length(x); return(n/((n-1)*(n-2))*sum(((x-mean(x))/sd(x))^3));}
excel.skew(x)


###############type=3
e1071::skewness(x,type=3)
e1071::skewness(x,type=1) * ((1 - 1/n))^(3/2) #from e1071::skewness source
b_1=function(x) {n=length(x); g_1(x)*((n-1)/n)^(3/2); }  #from e1071::skewness help page
b_1(x);
prof.skew=function(x) sum((x-mean(x))^3)/(length(x)*sd(x)^3);
prof.skew(x)

###############very old method that fails in weird cases
(3*mean(x)-median(x))/sd(x)
#I found this to fail on certain data sets as well...

这是e1071作者参考的论文：http : //onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/1467-9884.00122/pdf Joanes和CA Gill（1998），比较样本偏斜度和峰度的量度。

根据我对那篇论文的阅读，他们认为类型3的错误最少。

以下是上述代码的偏度示例：

e1071::skewness(x,type=1)
-0.1620332
e1071::skewness(x,type=2)
-0.1645113
e1071::skewness(x,type=3)
-0.1596088
#old type:
0.2694532

我还注意到e1071的作者编写了与帮助页面中的注释不同的偏斜函数。注意sqrt：

sqrt(n) * sum((x-mean(x))^3)/(sum((x - mean(x))^2)^(3/2)) #from e1071::skewness source

(sum((x - mean(x))^3)/n)/(sum((x - mean(x))^2)/n)^(3/2) #from moments and e1071 help page

知道为什么sqrt（n）在第一个方程式中吗？哪个方程式可以更好地处理上溢/下溢？还有其他想法为什么它们不同（但产生相同的结果）？

让我们从您描述为“一种旧方法”的方法开始；这是第二个Pearson偏度，即中值偏度；实际上，瞬间偏度与大致相同的年份（中偏度实际上要年轻一些，因为瞬间偏度先于Pearson的努力）。

关于一些历史的一些讨论可以在这里找到; 该帖子还可能对您的其他几个问题有所帮助。

如果您使用第二次Pearson偏度来搜索我们的网站，您将看到很多帖子，其中包含有关此度量方式行为的一些讨论。

实际上，这比我脑中出现的偏斜程度要古怪得多。他们有时都做一些奇怪的事情，这些事情与人们对偏度测量的期望不符。

通常的形式在维基百科讨论这里 ; 就像它所说的那样，这是一种矩估计方法，并且在给定总体计算的基础上根据标准化的第三矩来使用，这是很自然的事情。$b_1$

如果将用作（即不进行贝塞尔校正），则会得到您提到的类型。这些就是我所说的“时刻方法”。对我来说，尚不清楚试图对分母进行偏斜有很多意义，因为这不一定会使比率偏斜。这样做可能很有意义，这样计算结果就可以与人们期望手动完成的事情相匹配。s n - 1 g $s_n$$s_{n-1}$$g_1$

但是，还有第二种（等效）的方法来根据累积量来定义总体偏斜度（请参阅上面的Wikipedia链接），并且如果对于样本偏斜度使用了那些偏斜度的无偏估计，则得到。$G_1$

[注进一步的是，在分子乘以通过 unbiases它，以便可以是另一个原因，人们看那个形式。如果尝试使第三矩和第二矩计算均无偏差，则获得前列的和系数会略有不同。]n $b_1$ n，（n-1）（n-2$\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}$$n,(n-1)$$(n-2)$

所有这三个在第三时刻偏斜上都只是稍有不同。在非常大的样本中，您使用的实际上没有任何区别。在较小的样本中，它们的偏差和方差都略有不同。

这里讨论的形式并没有穷尽偏斜的定义（我想我已经看过大约十二种了，维基百科的文章列出了很多，但即使这还不包括色域），甚至也没有涉及第三种的定义。瞬间偏斜，其中我看到的不止您在此处提出的三个偏斜。

为什么有许多偏度度量？

那么（暂时将所有这些第三阶偏斜视为一个）为什么会有那么多不同的偏斜呢？部分原因是偏度实际上很难确定。这是一件很难的事，您无法真正固定到一个数字。结果，所有定义在某种程度上都不够充分，但是通常符合我们对偏度度量应该做什么的广泛理解。人们一直在试图提出更好的定义，但是诸如QWERTY键盘之类的旧措施却一无所获。

为什么基于第三时刻有几种偏度度量？

至于为什么有这么多的第三阶偏度，那仅仅是因为有多种方法可以将人口测度转变为样本测度。我们看到了两条基于时刻的路线，一条基于累积量。我们可以构建更多；例如，我们可能会尝试在某种分布假设下，最小均方误差度量或其他类似数量下获得（小样本）无偏度量。

您可能会在网站上找到一些与偏斜启发有关的帖子；有些例子显示的分布不对称，但第三矩偏度为零。有些数据显示皮尔逊中偏度和第三矩偏度可能具有相反的征兆。

以下是一些与偏度有关的帖子的链接：

平均值=中位数是否意味着单峰分布是对称的？

在左偏数据中，均值和中位数之间是什么关系？

如何从离群值的直方图中确定偏度？

关于您关于的计算的最后一个问题：$b_1$

$\sqrt{n} \cdot \frac{\sum{(x-\bar{x})^3}}{(\sum({x - \bar{x}})^2)^{3/2}}\qquad$ #from e1071 :: skewness来源

$\frac{\sum(x - \bar{x})^3/n}{(\sum(x - \bar{x})^2/n)^{3/2}}\qquad$＃ e1071帮助页面

两种形式在代数上是相同的。第二个明确地以“第二次施加动力第三时刻”的形式，而第一个只是取消了并将剩余部分置于前面。我不认为这样做是为了避免溢出/下溢；我想这样做是因为它被认为会更快一些（如果担心上溢或下溢，可能会以不同的方式安排计算。）$\frac32$$n$