平均值=中位数是否意味着单峰分布是对称的？

对于单峰分布，如果均值=中值，那么说分布是对称的就足够了吗？

维基百科在平均值和中位数之间的关系中说：

“如果分布是对称的，则均值等于中值，并且分布将具有零偏度。此外，如果分布是单峰的，则均值=中值=模式。这就是抛硬币或系列1,2,3,4，...，但是，请注意，相反的情况通常并不正确，即零偏度并不意味着均值等于中位数。”

但是，（对我而言）收集我需要的信息不是很简单。请帮忙。

这是一个不对称的小反例：-3，-2、0、0、1、4是单峰的，其众数=中位数=均值= 0。

编辑：一个更小的例子是-2，-1、0、0、3。

如果您想想象一个随机变量而不是一个样本，则将其支撑设为{-2，-1，0，3}，所有概率质量函数均为0.2，但0为0.4。

这开始只是一个评论，但是时间太长了。我决定让它更多地成为答案。

${A\implies B}$$B\implies A$

我想处理一些其他问题，并在这里指出一些与之相关的广泛答案。

1. 您引用的Wikipedia页面上的声明也不是严格正确的。例如，考虑柯西分布，该柯西分布的中位数肯定是对称的，但没有均值。该陈述需要一个限定词，例如“只要存在均值和偏度”。即使我们将其简化为第一句前半部分的较弱陈述，也仍然需要“只要存在均值”。

2. 您的问题部分使对称性与零偏度相抵触（我假设您打算进行三次矩偏度，但是对于其他偏度测度也可以进行类似的讨论）。偏度为0并不表示对称。尽管第二个引用中的解释可能需要一些调整，但引用的后半部分和Alexis在Wikipedia中引用的部分都提到了这一点。

该答案表明，第三矩偏度与均值和中位数之间的关系的方向较弱（第三矩偏度和第二皮尔逊偏度不必对应）。

该答案的第1项给出了一个独立的反例，类似于但不同于Silverfish给出的反例。

编辑：我终于挖出了我实际上早先正在寻找的单峰示例。

在这个答案中，我提到以下家庭：

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

（灰色线显示蓝色密度绕x轴翻转，使不对称变得平淡）

Whuber 在这里给出了另一个示例，该示例具有零偏度，该偏度是连续的，单峰的和不对称的。我复制了他的图：

其中显示了示例，并且均值翻转了平均值（以清楚地显示不对称性），但您应该阅读原始文档，其中包含许多有用的信息。

[Whuber的答案在同一时刻给出了另一个非对称连续分布族。进行相同的“选择两个，翻转一个并进行50-50混合”的技巧具有相同的不对称结果，所有奇数矩均为零，但我认为这里没有给出单峰结果（尽管也许有一些示例）。 ]

这里的答案讨论了均值，中位数和众数之间的关系。

这个答案讨论了对称性的假设检验。

没有。

此外，如果分布是单峰的，则均值=中位数=众数。

与“如果小动物是鸡，那么它的起源是鸡蛋”的含义相同，并不意味着“如果小动物是鸡，那么小动物就是鸡”。

来自同一Wikipedia文章：

如果一条尾巴很长而另一条尾巴很胖，则偏斜不能遵循简单的规则。例如，零值表示均值两侧的尾部平衡，这对于对称分布和不对称分布均匀的非对称分布（例如一条尾巴长而细）以及其他人矮而胖。

有趣且易于理解的示例来自二项式分布。

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

此显示的Stata代码过去很mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'可能在任何值得一提的统计软件中都一样简单。

从心理学而不是逻辑的角度来看，不能令人信服地将这个示例视为病理性的（因为在其他问题中，人们可能会不考虑某些时刻甚至不存在的分布），或者出于该目的而做出的一个奇怪或琐碎的示例（如例如@Silverfish或0、0、1、1、1、1、3）描述的发明数据。