方差的反函数

对于给定的常数$r$（例如4），是否有可能找到的概率分布$X$，从而使$\mathrm{Var}(X)=r$？

$r$$r=0$$X$Pr （X = c ）= $\Pr(X=\mu)=1$$\Pr(X=c)=0$$c \neq \mu$$X$$\mu \in \mathbb{R}$

如果，不分配可以发现，因为V 一- [R （X ）= È（X - μ X ）2 ≥ 0。$r<0$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$

对于，答案将取决于已知的有关X的其他信息。例如，如果X是已知有平均μ，则对于任何μ ＆Element; [R和- [R > 0，我们可以通过取找到这些时刻分布X 〜Ñ （μ $r>0$$X$$X$$\mu$$\mu \in \mathbb{R}$$r>0$。 这不是均值和方差匹配问题的唯一解决方案，但它是唯一的正态分布解决方案（在所有可能的解决方案中，正如Daniel指出的那样，这是使熵最大化的解决方案）。如果您也想匹配，例如第三个$X \sim N(\mu, r)$中心矩或更高，那么您将需要考虑更大范围的概率分布。

假设我们有一些关于X分布的信息$X$而不是关于它的矩。例如，如果我们知道遵循泊松分布，则唯一的解决办法是X 〜P ö 我小号小号ø Ñ（[R ）。 如果我们知道，X如下的指数分布，然后再次存在唯一的溶液X 〜ë X p ö Ñ Ë Ñ Ť 我一升（$X$$X \sim \mathrm{Poisson}(r)$$X$，这里我们通过求解Var（X）=r=1找到了参数$X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$。$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$

在其他情况下，我们可以找到整个解决方案系列。如果我们知道遵循矩形（连续均匀）分布，则可以通过求解V a r（X ）= r = w 2来找到该分布的唯一宽度$X$$w$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$。但会有一个整体解决方案系列，由parametized 一个∈ [R -在这组分布在彼此的所有翻译。同样，如果X是正常的，然后任意分布X 〜ñ （μ ，[R ） 会工作（所以我们有一整套的索引解决方案的μ，这也可以是任何实数，并再次家庭是彼此的所有翻译）。如果这样的$X \sim U(a, a+w)$$a \in \mathbb{R}$$X$$X \sim N(\mu, r)$$\mu$遵循伽玛分布$X$然后，使用所述形状尺度参数，我们可以得到解决方案的整个家庭，由parametizedθ>0。这个家庭的成员不是彼此的翻译。为了帮助可视化“解决方案族”的外观，下面是一些以μ为索引的正态分布示例，然后以θ为索引的伽玛分布示例，所有方差均等于4，对应于您问题中的示例r=4。$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$$\theta > 0$$\mu$$\theta$$r=4$

另一方面，对于某些分布，取决于的值，可能会或可能不会找到解。例如，如果X必须是一个伯努利变量然后0 ≤ [R < $r$$X$$0 \leq r \lt 0.25$有两种可能的解决方案因为有两个概率p其中求解方程式V 一- [R （X ）= r = p $X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$$p$，实际上这两个概率是互补的，即 p 1 + p 2 = 1。对于 r = 0.25，只有唯一解 p = 0.5，对于 r > 0.25，则没有伯努利分布具有足够高的方差。$\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$$p_1 + p_2 = 1$$r=0.25$$p=0.5$$r>0.25$

我觉得我也应该提到的情况。对于这种情况也有解决方案，例如具有两个自由度的Student t分布。$r = \infty$$t$

情节的R代码

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

假设你的意思是“是否有可能找到一个概率分布为 ”，那么答案是肯定的，因为你没有指定任何标准的X必须满足。实际上，有无限数量的可能分布可以满足此条件。只考虑一个正态分布，Ñ（X ; μ ，σ 2）。可以设置σ 2 = - [R和μ可以取任何值你喜欢-那么你将有V 一- [R [ X ] = $X$$X$$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$$\sigma^2 = r$$\mu$$Var[X] = r$为必需的。

实际上，正态分布在这方面非常特殊，因为它是给定均值和方差的最大熵概率分布。

这个问题可以用一种有趣的方式来解释，而不是完全琐碎的。 鉴于一些是看起来像一个随机变量，在何种程度上有可能以这样的方式分配概率，以自己的价值观（或移位的存在概率左右），其方差等于预先设定的一些数$X$？答案是所有可能的值 [R ≥ 0是允许的，由极限确定通过的范围 X。$r$$r\ge 0$$X$

这种分析的潜在兴趣在于改变概率测度，同时保持随机变量固定以实现特定目标的想法。尽管此应用程序很简单，但是它显示了Girsanov定理的某些思想，这是数学金融学的基础。

让我们以严格，明确的方式重申这个问题。假设

是用sigma代数S在测量空间上定义的可测量函数。对于给定的实数r > 0，何时有可能在此空间上找到一个概率度量P，对于该概率度量，Var （X ）= r？$\Omega$$\mathfrak{S}$$r \gt 0$$\mathbb{P}$$\text{Var}(X) = r$

我相信答案是，这是可能的，当。$\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$ （如果同时达到最大和最小，则等式可以成立：也就是说，它们实际上是的最大值和最小值。）当sup（X）=∞或$X$$\sup(X)=\infty$，该条件强加任何限制$\inf(X)=-\infty$$r$，则所有非负的方差值都是可能的。

证明是通过构造。 让我们从它的简单版本开始，以照顾细节并确定基本思想，然后继续进行实际构建。

1. 让是图像中X：此装置有一个ω X＆Element; Ω为其中X （ω X）= X。定义一组函数P：小号 → [ 0 ，1 ]是的指示器ω X：即，P（甲）= 0如果ω X ∉ 甲和$x$$X$$\omega_x\in\Omega$$X(\omega_x) = x$$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$$\omega_x$$\mathbb{P}(A) = 0$$\omega_x\notin A$时 ω $\mathbb{P}(A) = 1$。$\omega_x\in A$

   由于，显然P满足概率的前两个公理。有必要证明它满足第三点。即，它是sigma可加的。但是，这几乎是显而易见的：每当{ ë 我，我= 1 ，2 ，... }是有限或可数无限集合互斥事件，那么它们中的任无含有ω X --in这种情况下，P（Ë 我）对于所有我= $\mathbb{P}(\Omega)=1$$\mathbb P$$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i$--or确切地说是其中之一包含，在这种情况下P（ 0对于所有我≠ Ĵ。在任一情况下$\omega_x$对于某些特定的 j，否则 P（E i）$\mathbb{P}(E_j)=1$$j$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i\ne j$

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   因为双方均为或均为1。$0$$1$

   由于集中在所有的概率ω X，分布$\mathbb{P}$$\omega_x$$X$集中在和X必须具有零方差。$x$$X$

2. 让是在范围内的两个值X ; 即，X （ω 1）= X 1和X （ω 2）= X 2。以类似于前面的步骤的方式，定义的量度P为的指标的加权平均值ω 1和ω 2。使用非负权重1 - p和p为p确定。和以前一样，我们发现$x_1 \le x_2$$X$$X(\omega_1) = x_1$$X(\omega_2) = x_2$$\mathbb{P}$$\omega_1$$\omega_2$$1-p$$p$$p$$\mathbb{P}$作为（1）中讨论的指标度量的凸组合-是概率度量。的分布相对于该测量是伯努利（p ）已经由缩放分布X 2 - X 1和由移位- X 1。因为伯努利（p ）分布的方差是p （1 - p ），所以X的方差必须是（x $X$$(p)$$x_2-x_1$$-x_1$$(p)$$p(1-p)$$X$。$(x_2-x_1)^2p(1-p)$

的（2）的直接后果是，任何为其存在X 1 ≤ X 2中的范围X和0 ≤ p < 1为其中$r$$x_1 \le x_2$$X$$0 \le p \lt 1$

可以是的方差。由于0 ≤ p （1 - p ）≤ 1 / 4，这意味着$X$$0 \le p(1-p) \le 1/4$

当且仅当具有最大值和最小值时，才保持相等。$X$

相反，如果超过此结合的（SUP （X ）- INF （X ））2 /$r$$(\sup(X)-\inf(X))^2/4$，则没有解决方案是可能的，因为我们已经知道，任何界随机变量的方差不能超过四分之一的平方其范围。

是的，有可能找到这种分布。实际上，您可以采用具有有限方差的任何分布，并进行缩放以匹配您的条件，因为

例如，均匀分布于间隔具有方差：σ 2 = $[0,1]$ 因此，在间隔的均匀分布[0，

实际上，这是向某些分布中添加参数的常用方法，例如Student t。它只有一个参数自由度。当ν → ∞时，分布收敛到标准正态。它是钟形的，看上去很像正常，但尾巴较胖。这就是为什么当尾巴很胖时，它通常被用作正态分布的替代方法。唯一的问题是高斯分布具有两个参数。因此，出现了Student t的缩放版本，有时也称为“ t location scale”分布。这是一个非常简单的变换：ξ = 吨- $\nu$$\nu\to\infty$，其中μ，s是位置和比例。现在，您可以设置比例，以便新变量ξ具有所需的任何方差，并具有学生t分布的形状。$\xi=\frac{t-\mu}{s}$$\mu,s$$\xi$