证明序列减少（通过绘制大量点来支持）

上个月我在SE上发布的许多问题都是为了帮助我解决这一特定问题。问题均已回答，但我仍然无法提出解决方案。因此，我认为我应该直接问我要解决的问题。

让 $X_n \sim F_n$，在哪里 $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$， $F_0 = x$， $c\geq 2$ （整数），以及每个 $F_n$ 超过CDF $(0,1)$。

我想证明 $\mathbb{E}X_n$ 减少 $n$ 对所有人 $c$ （甚至对于任何特定 $c$）！我可以证明$F_n$ 以独特的解收敛到狄拉克质量 $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ 对于 $c=2$， $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$。当看CDFS增加时$n$都是一样的 $c$，所有cdf交叉在 $x_n$。的价值$F(x)$ 减少值 $x$ 少于 $x_n$ 并增加 $x$ 然后更大 $x_n$ （如 $n$ 增大）会聚到垂直线 $x_n$。

下图是 $\mathbb{E}X_n$ 对于 $n = 1$ 至 $40$ 对于 $c = 2$ 至 $7$。这当然是一个离散的图，但是为了便于查看，我将这些线合并在一起。为了生成该图，我在Mathematica中使用了NIntegrate，尽管我需要在$1-F^{-1}_n$，由于某种原因，Mathematica无法生成有关高值的答案 $n$原始功能。根据杨定理，两者应相等$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$。就我而言$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$， $F^{-1}_n = x$。

如您所见， $EX_n$ 快速移动到距其固定点一分钟的距离 $x_c$。如$c$ 增加，固定点减少（最终将变为0）。

因此，肯定是正确的 $EX_n$ 减少 $n$ 对所有人 $c$。但是我无法证明这一点。谁能帮我吗？（再说一次，我会很满意$c$）并且，如果不能，但是您对为什么这个特定问题无法解决有深刻的见解，请也分享这一见解。

Pietro Majer在MO上已经回答了这个问题。