囚犯悖论

我进行了一次锻炼，但还不太清楚。

囚犯悖论

三名被单独监禁的囚犯A，B和C在同一天被判处死刑，但由于有法定假日，州长决定对一名囚犯予以赦免。囚犯已被告知这一点，但被告知他们直到预定执行死刑的那一天才知道要解救其中一名。

囚犯A对囚犯说：“我已经知道至少有另外两名囚犯将被处决，因此，如果您告诉我将被处决的人的名字，您将不会给我任何有关我自己被处决的信息” 。

狱卒接受了这一点，并告诉他C肯定会死。

当时的原因是：“在我知道要执行C之前，我有三分之一的机会得到赦免。现在我知道无论是B还是我本人都将被赦免，赔率已提高为2分之1。”

但是狱卒指出：“如果我说过B会死，那么我可能会得出类似的结论，而我肯定会回答B或C，那么为什么要问呢？”。

A获得赦免的机会是什么，为什么？构造一个可以说服他人正确的解释。

您可以通过贝叶斯定理，绘制信念网络或通过常识来解决此问题。无论选择哪种方法，都应加深您对条件概率这个看似简单的概念的理解。

这是我的分析：

这看起来像是Monty Hall问题，但并非完全如此。如果A告诉I change my place with B他C会死后说，他有2/3的机会被保存。如果他不这样做，那么我想说他活着的机会是1/3，就像您在Monty Hall问题中没有改变选择时一样。但同时，他是一个由2个人组成的小组，一个人应该死，所以很容易说他的机率是1/2。

因此，矛盾仍然存在，您将如何处理这个问题。另外，我不知道如何建立对此的信任网络，所以我很感兴趣。

最初，存在三种可能性相等的可能性：

• A将被释放（问题）$1/3$
• B将被释放（问题）$1/3$
• C将被释放（问题）$1/3$

根据消息的承诺，存在四种可能性不同的可能性：

• A将被释放，A被告知B将被执行（问题）$1/6$
• A将被释放，A被告知C将被执行（问题）$1/6$
• B将被释放，A被告知C将被执行（问题）$1/3$
• C将被释放，A被告知B将被执行（问题）$1/3$

以“ A被告知C将被执行”为条件

• A将被释放，A被告知C将被执行（问题）$1/3$
• B将被释放，A被告知C将被执行（问题）$2/3$

因此，在消息之后，A希望与B交换（蒙蒂·霍尔问题），但不能并且因此保持原来的概率被执行。$2/3$

我认为您对此问题的思考过多-这是Monty Hall问题，并且适用相同的逻辑。

我不太确定我是否同意@babelproofreader，这是一个Monty Hall问题，并且适用相同的逻辑。在Monty Hall问题中，您下去选择一扇门。规则是，蒙蒂（Monty）知道奖品在哪里，永远不会打开隐藏奖品的门，并且始终会打开未选择的门之一（即，如果您选择了没有奖品的门，他将不会打开您拥有的门选择并说“对不起，您输了！”，然后将您送回座位），他将始终提供选择切换到另一扇（未选择未打开的）门的选择（即，只有您选择后，他才会提供选择）在这种情况下，如果表示您的最初选择是获得奖品的门，则。如果$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$是您的最终选择是获得奖金的大门，那么

• 如果您的策略是始终保持不变，则（因为您一开始就做出了正确的选择并坚持下去），而 （因为您一开始做出了错误的选择，并坚持下去。因此，根据总概率定律， $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• 如果您的策略是始终切换，则（因为您在开始时做出了正确的选择，然后切换了），而 （因为您输入了错误的信息）在开始时选择，因此保证剩下的（未选择的未打开）门将有奖品）。因此，根据总概率定律， $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

在这里，情况有所不同。有没有不断变化的地方为“如果A说我改变为B我的地方，他被告知后的C会死，他有2/3的几率被保存。” $B$

补充说明：另一个区别是，A没有关于囚犯是否知道将要赦免谁的信息，或者当囚犯说将执行C时是否在讲真话。另一方面，当囚犯说他告诉A将执行C时，囚犯没有向A传达任何有用的信息时，他是完全正确的。与Monty Hall问题最接近的类比是，A选择了门之后，Monty打开了一个门。取消选择门以露出一只山羊，对A说：“打开门，看看你得到了什么”，也就是说，没有提供开关。所以拿奖（蒙提霍尔）或者是赦免（囚犯问题）的A的几率是一样的：出$1$$3$ 不管蒙蒂是否打开未选择的门来露出山羊，还是狱卒告诉A，将要执行C还是不按照Henry的详细计算。

答案取决于囚犯在知道要赦免A时如何选择要命名的囚犯。考虑两个规则：

1）狱卒随机选择B和C，在这种情况下恰好说出C。那么A被赦免的机会是1/3。

2）囚犯总是说C。那么A被赦免的机会是1/2。

我们只被告知囚犯说C，所以我们不知道他遵循了哪些规则。实际上，可能还有其他规则-也许狱卒掷骰子并且只有C掷6才说C。

正如其他人指出的那样，三名囚犯的问题是对蒙蒂·霍尔的改写。有关更多信息，请参阅本文的1.7节http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

想象一下，狱卒告诉A，C肯定会死。然后他告诉B，C肯定会死。很明显，在这种情况下，A和B分别有50％会被赦免。但是，这两个版本有什么区别？

三个囚犯问题是从蒙提霍尔不同。爱丽丝被赦免的概率实际上是，而不是，但是只有当狱卒遵循“在可能时总是给鲍勃起名”的策略。$1/2$$2/3$

事件： 爱丽丝被赦免。和相同。 狱卒告诉爱丽丝“鲍勃”这个名字（作为对“将被执行死者”的回答）。他叫“卡尔”。由于规则，他不能自己给爱丽丝起名字。$A$$B$$C$$J$$J^c$

我们对感兴趣。现在有两种情况：$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. 监狱长在告诉B或C之前先抛硬币：。$P(J|A) = \frac{1}{2}$

2. Jailer尽可能告诉Bob的名字：， 且。$P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

收到信息后，囚犯C会死，他的机会确实变为1/2，但这仅仅是因为他获得该信息的机会已经是2/3（囚犯C得到赦免的1/3可能性被消除了） ）

而2/3 * 1/2是获得释放的原始概率。

相反的方法更具说服力：

假设，他被告知囚犯C将得到赦免。
他不被杀的机会是什么？
每个人都会承认，如果狱卒没有撒谎，并且只有一次赦免，他的机会是零。

这次，他有1/1的机会，因为获得该信息的机会已经是1/3。