蒙蒂·霍尔问题-我们的直觉会使我们失败吗？

从维基百科：

假设您正在一场游戏节目中，并且可以选择三扇门：一扇门后面是一辆汽车；在其他人之后，是山羊。您选择一扇门，说一号，然后知道门后有什么的主人打开另一扇门，说三号，它有一只山羊。然后，他对您说：“您要选择2号门吗？” 切换选择对您有利吗？

答案是肯定的-但这是极不明智的。大多数人对导致我们挠头甚至更好的机会的可能性有误解。我们可以从这个难题中走出什么一般规则，以便将来更好地训练我们的直觉？

考虑问题的两个简单变化：

1. 没有为参赛者打开门。房东没有帮助您拾门。在这种情况下，很明显选择正确门的几率是1/3。
2. 在要求参赛者进行猜测之前，主持人打开了一扇门，露出了一只山羊。主人发现一只山羊后，参赛者必须从剩下的两个门中挑选汽车。在这种情况下，很明显选择正确门的几率是1/2。

为了使参赛者知道自己的门选择正确的可能性，他必须知道有多少积极的结果可供他使用，并将该数字除以可能的结果的数量。由于上面概述了两个简单的情况，因此很自然地将所有可能的可能结果视为要选择的门的数量，而将积极结果的数量视为隐藏汽车的门的数量。在这种直觉假设下，即使在比赛选手做出猜测之后主人打开一扇门露出山羊，但任一扇门都装有汽车的概率仍然是1/2。

实际上，概率识别出一组大于三个门的可能结果，并且识别出一组阳性结果，该结果大于汽车的单个门。在对问题的正确分析中，主持人向参赛者提供了新信息，提出了一个新的问题要解决：我最初的猜测是什么概率，使得主持人提供的新信息足以告知我正确的信息？门？在回答这个问题时，一组积极的结果和一组可能的结果不是有形的门和车，而是山羊和车的抽象布置。这三种可能的结果是两只山羊和一辆汽车在三扇门后面的三种可能布置。两个积极的结果是参赛者的第一次猜测是错误的两种可能的安排。在这两种布置中的每一种中，由主机提供的信息（剩下的两个门之一为空）都足以使选手确定隐藏汽车的门。

总而言之：

我们倾向于在选择的物理表现形式（门和轿厢）与可能结果和期望结果的数量之间建立简单的映射关系。在没有向参赛者提供新信息的情况下，这种方法很好用。但是，如果为参赛者提供了更多信息（即，您未选择的门之一肯定不是汽车），则此映射将失效，并且所要询问的正确问题更加抽象。

我发现，如果将解决方案更改为100门，首先将其关闭，然后将其关闭为98门，则人们会发现该解决方案更加直观。同样适用于50门等

回答原始问题：由于叙述，我们的直觉失败了。通过以与电视剧本相同的顺序讲述故事，我们感到困惑。如果我们提前考虑将要发生的事情，它将变得容易得多。测验主将显示一只山羊，所以我们最好的机会是选择一个带有山羊的门，然后再开关。故事情节着重强调 了我们的行动所造成 的损失，因为我们碰巧选择汽车的机会只有三分之一。

原始答案：

我们的目标是消灭两只山羊。我们通过自己标记一只山羊来做到这一点。然后，测验主管被迫在露出汽车或另一只山羊之间做出选择。揭露这辆车是不可能的，因此测验长将显示并消除我们不知道的一只山羊。然后，我们切换到剩下的门，从而消除了用我们的首选标记的山羊，并获得了汽车。

仅当我们不标记山羊而是标记汽车时，此策略才会失败。但这不太可能：有两只山羊，只有一辆汽车。

因此，我们有三分之二的机会赢得赛车。

答案不是，“当然可以！” 正确的答案是：“我不知道，您能说得更具体些吗？”

您认为正确的唯一原因是因为Marliyn vos Savant这么说。她最初对这个问题的回答（尽管这个问题在她之前广为人知）出现在1990年9月9日的 Parade杂志上。她写道，这个问题的“正确”答案是换门，因为换门使您赢得汽车的可能性更高（2/3而不是1/3）。她得到了数学博士和其他有才华的人的很多回应，说她错了（尽管他们中的许多人也是错误的）。

假设您正在一场游戏节目中，并且可以选择三个门。一扇门后面是一辆汽车，另一扇后面是山羊。您选择一扇门，例如＃1，然后知道门后有什么的房东打开另一扇门，例如＃3，它有一只山羊。他对您说：“您要挑2号门吗？” 切换门的选择对您有利吗？— 马里兰州哥伦比亚克雷格·惠特克

我已经将此逻辑问题的重要部分加粗了。该语句中的歧义是：

蒙蒂·霍尔（Many Hall）总是开门吗？（如果您在选择获胜的门时只打开了失败的门，那么切换门对您有什么好处？回答：否）

蒙蒂·霍尔（Monty Hall）总是会打开一扇失败的门吗？（问题指定，他知道哪里有车，而这个特定的时间他表现落后一个山羊。将你的机会是什么，如果他随意打开一扇门？即蒙特秋季的问题，或者有时他选择展示获奖门什么）

蒙蒂·霍尔（Monty Hall）总是会打开您没有选择的门吗？

这个逻辑难题的基础已经被重复了不止一次，而且很多时候它们的定义不够好，无法给出2/3的“正确”答案。

一位店主说，她有两只新的小猎犬来给你看，但她不知道它们是雄性，雌性还是一对。您告诉她，您只想要一个男性，然后她给正在给他们洗澡的那个人打电话。“至少有一个男人吗？” 她问他。“是！” 她笑着告诉你。另一个是男性的概率是多少？— Stephen I. Geller，加利福尼亚州帕萨迪纳

难道这家伙看看这两个狗响应之前“是的，”还是他拿起一个随机的狗，发现这是一个男性，然后回答“有”。

假设一个女人和一个男人（彼此无关）分别有两个孩子。我们知道，女人的孩子中至少有一个是男孩，男人的大孩子是男孩。你能解释为什么女人有两个男孩的机会不等于男人有两个男孩的机会吗？我的代数老师坚持认为男人有两个男孩的可能性更大，但我认为机会可能是相同的。你怎么看？

我们怎么知道这些女人至少有一个男孩？我们有一天看过篱笆，看到其中之一吗？（答案：50％，与男人相同）

这个问题甚至使我们自己的杰夫·阿特伍德（Jeff Atwood）陷入困境。他提出了这个问题：

假设说，假设您遇到一个告诉你他们有两个孩子的孩子，其中一个是女孩。一个人有一个男孩和一个女孩的几率是多少？

杰夫继续争论说这是一个简单的问题，用简单的语言提出，并排除了一些反对者的意见，即如果您希望答案为2/3，则该问题的措词不正确。

更重要的是，就是为什么女人主动的信息。如果她说的是普通人的话，那么当有人说“其中一个是女孩”时，不可避免地另一个是男孩。如果我们假设这是一个逻辑问题，目的是使我们绊倒，那么我们应该要求对该问题进行更明确的定义。这位女士是自愿选择一个孩子（随机选择）的性别，还是在谈论两个孩子的性别。

显然，这个问题的措辞很差，但是人们没有意识到。当问类似的问题时，转换的可能性更大，人们要么意识到这一定是一个把戏（并质疑主持人的动机），要么像一百扇门的问题一样获得转换的“正确”答案。 。当医生被问及女性在检测出阳性后是否患有某种疾病的可能性（他们需要确定她是否患有这种疾病，或者是假阳性）时，医生会更容易得出结论，这进一步证明了这一点。正确答案，取决于问题的措辞方式。有一个精彩的TED演讲，涵盖了这种情况的一半。

他描述了与乳腺癌检测相关的可能性：1％的女性患有该疾病，该检测准确率为90％，假阳性率为9％。有了所有这些信息，您如何告诉一名女性，如果他们对这种疾病的可能性进行了阳性测试，该怎么办？

如果有帮助，则可以用另一种方式来表达相同的问题：

在10,000名40岁以下的妇女中，有100名参加常规筛查的妇女患有乳腺癌。每100名罹患乳腺癌的女性中，有90名的乳房X线照片呈阳性。在9,900名没有乳腺癌的女性中，有891名的X线检查也将获得阳性结果。如果在这个年龄段中有10,000名妇女接受常规检查，那么乳腺X线检查阳性的妇女中大约有百分之实际会患乳腺癌？

我会稍微修改格雷厄姆·库克森的话。我认为人们忽略的真正关键的不是他们的第一选择，而是主人的选择，以及主人确保不透露汽车的假设。

实际上，当我在课堂上讨论这个问题时，我会部分地将其作为案例研究加以介绍，以明确您的假设。如果主持人确保只露出一只山羊，则对您有利。另一方面，如果主持人在2号和3号门之间随机选择，并且偶然发现了山羊，那么切换就没有任何好处。

（当然，实际的结果是，如果您不知道主机的策略，则无论如何都应该切换。）

这没有给出一般规则，但是我认为这是一个具有挑战性的难题的原因之一是我们的直觉不能很好地处理条件概率。关于同一现象，还有许多其他的概率难题。由于我链接到我的博客，所以这是专门在Monty Hall上的帖子。

我同意学生发现这个问题非常困难。我得到的典型答复是，向您展示山羊后，有50:50的机会上车，那为什么重要呢？学生似乎将他们的第一选择从现在要求他们做出的决定中分离出来，即他们认为这两个动作是独立的。然后我提醒他们，他们最初选择错误门的可能性是原来的两倍，因此为什么他们最好改用开关。

近年来，我开始真正玩玻璃游戏，它可以帮助学生更好地理解问题。我使用三个硬纸板卫生纸“中间”，其中两个是回形针，第三个是5英镑的钞票。

我认为，这更是逻辑问题，而不是使蒙蒂·霍尔解决方案令人惊讶的概率困难。考虑以下问题描述。

在观看电视节目之前，您需要在家中决定是否要关门或坚持自己的第一选择，无论电视节目发生什么。也就是说，您在玩游戏之前在策略“停留”或“切换”之间进行选择。这种策略选择没有不确定性。现在还不需要引入概率。

让我们了解两种策略之间的差异。同样，我们不会谈论概率。

在“保持”策略下，只有当您的首选是“好”门时您才能获胜。另一方面，在策略“切换”下，只有且当您的第一选择是“坏”门时，您才能获胜。请仔细考虑这两种情况，特别是第二种情况。再次注意，我们还没有谈论概率。这只是逻辑问题。

现在让我们谈谈概率。假设您最初为每个门后面的奖金分配了的概率，那么很明显，在策略“保持”下，您获胜的概率为（这是选择“好”门的概率）。但是，在“切换”策略下，您获胜的概率是（这是选择“坏”门的概率）。这就是为什么策略“ Switch”更好。$1/3$$1/3$$2/3$

PS 1990年，拉里·登伯格（Larry Denenberg）教授给电视节目主持人蒙蒂·霍尔（Monty Hall）致信，要求他允许在书中使用他的名字描述众所周知的三扇门问题。

这是蒙蒂对那封信的答复的一部分，我们可以在其中看到：

“据我所见，在玩家选择门A并看到门C之后，这没有什么区别-为什么他接着又要尝试切换到门B？

因此，我们可以肯定地得出结论，蒙蒂·霍尔（男人本人）不理解蒙蒂·霍尔的问题！

不需要了解条件概率或贝叶斯定理就可以知道最好切换答案。

假设您最初选择了1号门，那么1号门成为获胜者的概率为1/3，而2号或3号门成为获胜者的概率为2/3。如果主持人选择显示2号门是失败者，那么2号或3号获胜的可能性仍然是2/3。但是由于2号门是失败者，因此3号门必须有2/3的概率成为赢家。

课程？重新制定问题，并寻找策略而不是看情况。转过头去，往后退...

人们通常不善于偶然地工作。一旦发现A或B的平均支出较高，它们通常会表现得更好；他们坚持选择更好的平均值。（尚无参考资料，对不起。）

当看到80/20的分配时，人们首先想到的是分散他们的选择以匹配支出：更好的选择占80％，其他则占20％。这将导致68％的支出。

同样，人们有一个选择这种策略的有效方案：如果赔率随着时间推移而变化，则有充分的理由发出调查并以较低的成功机会尝试选择。

数理统计的重要部分实际上研究了过程的行为，以确定它们是否是随机的。

我认为发生了几件事。

首先，设置意味着需要更多信息，然后才能考虑解决方案。那是一场游戏节目，主持人问我们是否要切换。

如果您假设主持人不希望演出花费额外的钱（这是合理的），那么您将假设他会说服您改变门，如果您有正确的门。

这是一种看待可能使人感到困惑的问题的常识性方法，但是我确实认为主要问题不是理解新选择与第一个选择有何不同（在100门的情况下更为明显）。

我将在lesswrong上引用这篇精彩的文章：

可能的假设是第1门的Car，第2门的Car和第3门的Car；在游戏开始之前，没有理由相信三个门中的任何一个比其他门更容易控制汽车，因此每个假设的先验概率为1/3。

游戏从我们选择门开始。当然，这本身并不是关于汽车在哪里的证据-我们假设我们没有关于汽车的特定信息，除了它在车门之一后面（这就是游戏的重点！）。但是，一旦完成此操作，我们将有机会“运行测试”以获取一些“实验数据”：主持人将执行他打开保证装有山羊的门的任务。我们将用三角形表示结果“主机打开门1”，用方形表示结果“主机打开门2”，用五边形表示结果“主机打开门3”，从而将我们的假设空间更精细地刻划为可能性，例如“汽车在“ 1号门，主机打开门2”中，“在1号门，主机打开门3中的汽车”，等等：

在我们初步选择一扇门之前，主人同样有可能打开其中一个装有山羊门的门。因此，如图所示，在游戏开始时，形式为“汽车在门X上并且主机打开门Y”的每个假设的概率为1/6。到现在为止还挺好; 一切仍然完全正确。

现在我们选择一扇门；假设我们选择了2号门。然后主人打开1号门或3号门，露出一只山羊。假设他打开了1号门；我们的图现在看起来像这样：

但是，这表明汽车位于2号门和3号门后面的概率相等！

你发现错误了吗？

你去了，这就是你的直觉使你失败的方式。

检查出正确的解决方案的完整的文章。这包括 ：

• 贝叶斯定理的解释
• 蒙蒂·霍尔的做法不对
• 蒙蒂·霍尔的正确做法
• 更多问题...

根据我的经验，事实是人们不会自动从单词跳到数学。通常，当我第一次展示它时，人们会弄错它。但是，然后我拿出52张纸牌，让他们选择一张。然后，我显示五十张卡片，并询问他们是否要切换。然后大多数人都明白了。他们凭直觉知道，当有52张卡片时，他们可能得到了错误的卡片；当他们看到50张卡片被交出时，决定很简单。我不认为这是一种悖论，而是倾向于在数学问题上束手无策。