重新设置似然函数的参数时，仅插入转换后的变量而不是更改变量公式就足够了吗？

假设我正在尝试重新设定指数分布的似然函数的参数。如果我的原始似然函数是：

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

并且我想使用重新设置参数，因为不是随机变量，而是参数，仅用于插入就足够了吗？$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

我的明确意思是：

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

如果是这样，我不确定这背后的理论是什么。我的理解是，似然函数是参数的函数，所以为什么我不需要使用变量公式的变化使我感到困惑。任何帮助将不胜感激，谢谢！

您不需要在变换中使用雅可比行列式，因为它是而不是的概率分布。无论您使用还是，它都必须与积分： 只有在上包含（贝叶斯）度量时，才出现雅可比行列式。即，如果是现有上，然后的后验密度就是 和的后验密度是 $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ 确实涉及雅可比。$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$