一组不相关但线性相关的变量

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是否可以有一组不相关但线性相关的变量？ $K$

即和 $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

如果可以，您可以写一个例子吗？

编辑：从答案中得出结论，这是不可能的。

至少有可能，其中是从变量样本，是与不相关的变量。 $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

我在想类似 $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— 唐贝
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正如@ RUser4512的答案所示，不相关的随机变量不能线性相关。但是，几乎不相关的随机变量可能是线性相关的，而其中一个例子就是统计学家的心。

假设是具有共同均值的不相关的单位方差随机变量的集合。限定其中 $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ 。然后，是零均值随机变量，使得，也就是说，它们是线性相关的。现在， $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$ 使得

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

而

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{ķ}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

表示

是具有相关系数

几乎不相关的随机变量

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$

。

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

另请参阅我的较早答案。

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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这是一个非常好的例子！

— RUser4512

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没有。

$a_i$ $a_1=1$

$K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

$K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
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\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

很好的答案。如果您还可以回答编辑后的问题，那将是很好的。

— Donbeo 2015年

v

$v$

x_{K}

$x_K$

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

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$X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

$X+Y=0$ $X$ $Y$

$X$ $Y$

— 卡尔·奥夫·哈特汉默
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