行和列长度受限制的随机矩阵

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我需要生成带有行和列的随机非平方矩阵，这些元素的均值= 0随机分布，并且受约束，使得每行的长度（L2范数）为，每列的长度为。等效地，每行的平方和为1，每列的。 $R$ $C$ $1$ $\sqrt{\frac{R}{C}}$ $\frac{R}{C}$

到目前为止，我已经找到一种实现此目的的方法：简单地随机初始化矩阵元素（例如，从均值为零且具有任意方差的均匀分布，正态分布或拉普拉斯分布），然后将行和列交替归一化为，以行规范化结束。这似乎可以相当快地收敛到所需的结果（例如，对于和，列长度的变异通常在次迭代后），但是我不确定是否可以依靠这种快速收敛速度通常（针对各种矩阵尺寸和初始元素分布）。 ${\rm length} = 1$ $R=40$ $C=80$ $~0.00001$ $2$

我的问题是：是否有一种方法可以直接获得所需的结果（，，而无需在行/列归一化？例如，类似用于对随机向量进行归一化的算法（随机初始化元素，测量平方值的总和，然后按通用标量缩放每个元素）。如果不是，是否存在上述迭代方法的收敛速度（例如，迭代次数直到错误）的简单表征？ ${\rm row \ lengths} = 1$ ${\rm column \ lengths} = \sqrt{\frac{R}{C}}$ $< \epsilon$

random-generation normalization markov-process random-matrix

— 泰勒·斯泰勒（Tyler Streeter）
source

1

这与Sinkhorn-Knopp算法非常相似，也称为迭代比例拟合。

— 主教

6

另外，您应该定义“随机”矩阵的含义。例如，您描述的过程将（几乎毫无疑问）不会在所需空间上均匀地生成随机矩阵。

— 主教

1

@cardinal好点。但是请注意，通过对一对随机排列矩阵进行后乘（以随机排列行和列），您至少可以为所有组件实现相同的（边际）分布。

— ub

1

@whuber：是的，尽管联合发行仍然很奇怪。通过“后乘”，我假设您的意思是在左侧和右侧进行“后收敛”乘（而不是例如在右侧乘）。

— 主教

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X

$X$

Y

$Y$

Y_{i j} = X_{i j}^{2}

$Y_{ij} = X_{ij}^2$

Y

$Y$

{\hat{X}}_{i j} = s g n (X_{i j}) \sqrt{Y_{i j}}

$\hat{X}_{ij} = \mathrm{sgn}(X_{ij}) \sqrt{Y_{ij}}$

Answers:

6

正如@cardinal在评论中所说：

事实上，后一个没有想到的，我觉得你的算法是准确的Sinkhorn，诺普算法具有非常小的修改。令为原始矩阵，令为相同大小的矩阵，使得。然后，您的算法等同于将Sinkhorn-Knopp应用于，在最后一步，您可以通过恢复所需的形式。除了在非常病理的情况下，Sinkhorn-Knopp保证会聚。仔细阅读应该会很有帮助。 $X$ $Y$ $Y_{ij}=X^2_{ij}$ $Y$ $\hat{X}_{ij}=sgn(X_{ij})\sqrt{Y_{ij}}$

...似乎我在原始问题中建议的迭代算法与Sinkhorn-Knopp算法非常相似。有趣的是，它似乎也非常类似于迭代比例拟合（IPF），正如IPF维基百科页面上所述，它与牛顿方法和期望最大化有关（都具有相同的限制）。

这些迭代方法通常应用于缺少闭式解决方案的问题，因此我将暂时假定该问题的答案是否定的：没有行/列迭代就无法实现所需的解决方案。

— 泰勒·斯泰勒（Tyler Streeter）
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（+1）表示您对这个问题持续感兴趣，并希望您进行独立的跟进。:-)

— 主教

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