同时滚动的各种多面体骰子的分布是什么？

从一组地下城与龙的骰子中取出5种柏拉图式固体。这些骰子由4面，6面（常规），8面，12面和20面骰子组成。所有数字均从数字1开始，然后向上计数至总数1。

立即将它们全部滚动，取其总和（最小总和为5，最大为50）。这样做多次。分布是什么？

显然，它们的趋势将趋向于低端，因为更低的数字多于更高的数字。但是在单个模具的每个边界处是否会有明显的拐点？

[编辑：显然，似乎没有。根据其中一位评论员，平均值为（5 + 50）/2=27.5。我没想到这一点。我仍然希望看到一个图形。] [Edit2：看到n个骰子的分布分别与每个骰子相同（加在一起）更有意义。]

我不想代数地做，但是您可以足够简单地计算pmf（这只是卷积，在电子表格中这很容易）。

我在电子表格中计算了这些*：

i        n(i)   100 p(i)
5         1     0.0022
6         5     0.0109
7        15     0.0326
8        35     0.0760
9        69     0.1497
10      121     0.2626
11      194     0.4210
12      290     0.6293
13      409     0.8876
14      549     1.1914
15      707     1.5343
16      879     1.9076
17     1060     2.3003
18     1244     2.6997
19     1425     3.0924
20     1597     3.4657
21     1755     3.8086
22     1895     4.1124
23     2014     4.3707
24     2110     4.5790
25     2182     4.7352
26     2230     4.8394
27     2254     4.8915
28     2254     4.8915
29     2230     4.8394
30     2182     4.7352
31     2110     4.5790
32     2014     4.3707
33     1895     4.1124
34     1755     3.8086
35     1597     3.4657
36     1425     3.0924
37     1244     2.6997
38     1060     2.3003
39      879     1.9076
40      707     1.5343
41      549     1.1914
42      409     0.8876
43      290     0.6293
44      194     0.4210
45      121     0.2626
46       69     0.1497
47       35     0.0760
48       15     0.0326
49        5     0.0109
50        1     0.0022

这里是获取每个总数的方式的数量；是概率，其中。最有可能的结果发生的时间少于5％。$n(i)$$i$$p(i)$$p(i) = n(i)/46080$

y轴是用百分比表示的概率。

*我使用的方法与此处概述的过程类似，尽管随着用户界面详细信息的更改，设置它的确切机制也有所变化（该帖子大约有5年的历史了，尽管我大约是一年前更新的）。这次我使用了一个不同的程序包（这次是在LibreOffice的Calc中完成的）。尽管如此，这仍然是要点。

所以我做了这段代码：

d4 <- 1:4  #the faces on a d4
d6 <- 1:6  #the faces on a d6
d8 <- 1:8  #the faces on a d8
d10 <- 1:10 #the faces on a d10 (not used)
d12 <- 1:12 #the faces on a d12
d20 <- 1:20 #the faces on a d20

N <- 2000000  #run it 2 million times
mysum <- numeric(length = N)

for (i in 1:N){
     mysum[i] <- sample(d4,1)+
                 sample(d6,1)+
                 sample(d8,1)+
                 sample(d12,1)+
                 sample(d20,1)
}

#make the plot
hist(mysum,breaks = 1000,freq = FALSE,ylim=c(0,1))
grid()

结果就是这个图。

看起来很高斯。我认为我们（再次）可能已经证明了中心极限定理的一种变化。

对您的直觉有一点帮助：

首先，考虑将一个骰子的所有面都添加一个，例如d4，会发生什么情况。因此，这些面现在显示的不是2、3、4，而是2、3、4、5。

将这种情况与原始情况进行比较，很容易看出现在的总和比以前高了一个。这意味着分布的形状不变，只是向一侧移动了一步。

现在，从每个芯片的每个侧面减去每个芯片的平均值。

这给骰子标记

• $-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$
• $-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$
• $-{7\over 2}$$-{5\over 2}$$-{3\over 2}$$-{1\over 2}$${1\over 2}$${3\over 2}$${5\over 2}$${7\over 2}$

等等

现在，这些骰子的总和仍应具有与原始骰子相同的形状，只是向下移动。应该清楚的是，这个和在零附近是对称的。因此，原始分布也是对称的。

> p  <-  q  <-  c(0, rep(1/6,6))
> pq  <-  convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
 [7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778

然后您可以检查一下是否正确（手动计算）。现在对于真正的问题，五个骰子分别有4,6,8,12,20面。我将假设每个骰子的概率均等进行计算。然后：

> p1  <-  c(0,rep(1/4,4))
> p2 <-  c(0,rep(1/6,6))
> p3 <-  c(0,rep(1/8,8))
> p4  <-  c(0, rep(1/12,12))
> p5  <-  c(0, rep(1/20,20))
> s2  <-  convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <-  convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <-  convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
 [1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
 [7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))

该图如下所示：

现在，您可以将此精确解决方案与仿真进行比较。

该中心极限定理回答你的问题。尽管它的细节和证明（以及那篇Wikipedia文章）有些令人费解，但要点很简单。根据维基百科，它指出

随着变量数量的增加，具有有限方差的多个独立且均匀分布的随机变量的总和将趋于正态分布。

您的情况的证明草图：

当您说“一次掷出所有骰子”时，所有掷出的骰子都是随机变量。

您的骰子上印有有限的数字。因此，它们的值之和具有有限的方差。

每次掷出所有骰子时，结果的概率分布都是相同的。（骰子在骰子之间不会改变。）

如果您公平地掷骰子，那么每次掷骰子时，结果都是独立的。（以前的滚动不会影响以后的滚动。）

独立？校验。分布均匀吗？校验。有限方差？校验。因此，总和倾向于正态分布。

一卷所有骰子的分布是否偏向低端都没有关系。那个分布中是否有尖峰，我都没关系。所有的求和将其平滑并使其成为对称的高斯。您甚至不需要做任何代数或模拟就可以显示它！这是CLT令人惊讶的见解。