无限次滚动选择的模具的平均值

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如果我无数次掷骰子，并且总是选择两个骰子中的较高者，那么期望的最高平均值是否会超过3.5？

看来一定是因为，如果我掷出一百万个骰子，并且每次都选择最高值，那么每次掷出六位数的可能性就非常大。因此，预期均值必须类似于5.999999999999 ...

但是，我似乎无法通过仅使用2个骰子来弄清楚我的示例的期望值是多少。有人可以帮我打电话吗？会勉强超过3.5吗？这甚至是可以计算的吗？

dice

— 杰森
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3

您可以列举样本空间吗？列出2骰子示例的可能性。

— soakley

6

实验也可以模拟。当枚举困难时（例如滚动3个骰子），此方法很有用。

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— 尼山斯
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30

无需为此使用仿真，一般情况下很容易分析。设为骰子数，为滚动骰子时的最大掷骰数。 $n$ $X$ $n$

由此得出，一般来说 for at 1 and6。因此我们可以获得

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

因此我们可以用封闭形式写下概率分布。对此操作可获得期望值4.472222。 $n = 2$

— 埃里克
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2

请注意，在极限情况下，为，因此该公式也证实了您对问题的直觉。

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— 马修·德鲁里

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我建议只是通过琐碎的案例来查看答案。

掷两个骰子可能产生的结果会生成6x6矩阵：

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

总和的期望值为7。之所以如此，是因为这些卷是相同的独立图纸，因此可以将它们相加。期望轧制一个公平的立方模为3.5。

但是您正在询问最大化。现在让我们枚举两个骰子的最大化。同样，它是一个6x6矩阵：

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

计算期望值，如下所示：。

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

注意，掷骰子（在概率意义上）等效于掷骰次。因此，对于滚动骰子，你可以看到矩阵的变化，以及如何产生的预期也会改变。 $n$ $n$ $n$

— d0rmLife
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2

假设这36个组合中的每一个具有相等的概率，我们只需要将36个组合中的每一个的值相加并除以36就可以得到平均值：

1种可能性：11
3种可能性：12，21，22
5种可能性：13，23，31，32，33
7种可能性：14、24、34、41、42、43、44
9种可能性：15、25、35、45、51、52、53、54、55
11种可能性：16，26，36，46，56，61，62，63，64，65，66

（1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11）/ 36 = 4.47222 ..

— Briguy37
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1

Troll Dice Roller是用于查找骰子概率的工具。他有一篇论文解释了这种实现，但这是很学术的。

max(2d6) 产量

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— 问题C
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