服从二次正态分布的多元正态分布样本

我想有效地绘制样品$x \in \mathbb{R}^d$从$\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$受约束$||x||_2 = 1$。

要正式解决此问题，首先需要对

“分布受的约束 ”$\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||x||^2=1$

自然的方法是在条件下定义。并将此条件应用于案例。如果我们使用极坐标， 变换的雅可比式为 因此条件分布的密度$X\sim\mathcal{N}_d(μ,Σ)$$||X||=\varrho$$\varrho=1$

$$\eqalign{ x_1&=\varrho\cos(\theta_1)\qquad&\theta_1\in[0,\pi]\\ x_2&=\varrho\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\qquad&\theta_2\in[0,\pi]\\ &\vdots\\ x_{d-1}&=\varrho \left( \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i) \right) \cos(\theta_{d-1})\qquad&\theta_{d-1}\in[0,2\pi]\\ x_{d}&=\varrho\prod_{i=1}^{d-1}\sin(\theta_i) }$$ $$\varrho^{d-1}\prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $\mathbf{\theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})$给定为 $\varrho$ $$f(\mathbf{\theta}|\varrho) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,\varrho)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,\varrho)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$

结论：由于雅可比关系，此密度不同于仅将法线密度应用于单位球面上的点。

第二步是考虑目标密度 并设计马尔可夫链蒙特卡洛算法来探索参数空间。我的第一个尝试是在Gibbs采样器上进行的，该采样器在球体上最接近（即处初始化。，并以“大都市中的吉布斯”方式一次旋转一个角度：

$$f(\mathbf{\theta}|\varrho=1) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,1)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,1)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$$ $[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi]$$\mu$$\mu/||\mu||$

1. 生成（计算总和取模）并以概率 else$\theta_1^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_1^{(t)}-\delta_1,\theta_1^{(t)}+\delta_1])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_1^{(t+1)}=\theta_1^{(t)}$
2. 生成（计算总和取模）并以概率接受此新值 else$\theta_2^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_2^{(t)}-\delta_2,\theta_2^{(t)}+\delta_2])$$\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_2^{(t+1)}=\theta_2^{(t)}$
3. $\ldots$
4. 生成（总和以模进行计算），并以概率 其他$\theta_{d-1}^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_{d-1}^{(t)}-\delta_{d-1},\theta_{d-1}^{(t)}+\delta_{d-1}])$$2\pi$ $$\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t+1)}|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t)}| \varrho=1)}\wedge 1$$ $\theta_{d-1}^{(t+1)}=\theta_{d-1}^{(t)}$

比例尺，，，可以根据步骤的接受率进行缩放，以达到的理想目标。$\delta_1$$\delta_2$$\ldots$$\delta_{d-1}$$50\%$

这是一个R代码来说明上述内容，其中和默认值为：$\mu$$\Sigma$

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

$||x||_2^2=1$严格不可能，因为是（连续）随机变量。如果您希望方差为1，即（其中波浪号表示我们估计方差），那么您需要将其方差设为。但是，此需求可能与冲突。也就是说，要获得具有这种方差的样本，您需要的对角线等于。$x$$E[(x-\mu)^2]\tilde{=} \frac{1}{n}\sum (x-\mu)^2=\frac{1}{n} ||x-n||_2^2=\frac{1}{n}$$\frac{1}{n}$$\Sigma$$\Sigma$$\frac{1}{n}$

要从总体上以这种分布为样本，可以生成iid标准法线，然后乘以（平方根），然后添加均值。$\Sigma^{0.5}$$\Sigma$$\mu$