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计算联合置信区间的高斯相关不等式的结果
根据《 Quanta杂志》上一篇非常有趣的文章：“长期寻找，发现并几乎丢失” –已经证明，给定向量具有多元变量高斯分布，给定间隔围绕的相应分量的，然后I 1，… ，I n xx=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn)\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)I1,…,InI1,…,InI_1,\dots,I_n xx\mathbf{x} p(x1∈I1,…,xn∈In)≥∏i=1np(xi∈Ii)p(x1∈I1,…,xn∈In)≥∏i=1np(xi∈Ii)p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i) （高斯相关不等式或GCI；有关更一般的表述，请参见https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf）。 这看起来确实很简单，并且文章说这对联合置信区间有影响。但是，这对我而言似乎毫无用处。假设我们正在估计参数 ，并且发现了估计器都是（也许是渐近的）联合正态的（例如MLE估计器） 。然后，如果我为每个参数计算95％的置信区间，则GCI保证超立方体I_1 \ times \ dots I_n是一个联合置信区域，其覆盖范围不小于（0.95）^ n ...甚至覆盖率也非常低中度n。θ1,…,θnθ1,…,θn\theta_1,\dots,\theta_nθ1^,…,θn^θ1^,…,θn^\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}I1×…InI1×…InI_1\times\dots I_n(0.95)n(0.95)n(0.95)^n nnn 因此，找到联合置信区域似乎不是一个明智的方法：如果知道协方差矩阵并且该协方差矩阵更锐利，则很难找到多元高斯的通常置信区域，即超椭球。当协方差矩阵未知时，找到置信区域可能有用吗？您能给我展示一个GCI与联合置信区域计算的相关性的例子吗？