如何确定多元正态分布的分位数（等值线）

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我对如何计算多元分布的分位数感兴趣。在图中，我绘制了给定单变量正态分布的5％和95％分位数（左）。对于正确的多元正态分布，我想象一个类似物将是一个等密度线，它包围密度函数的基数。以下是我尝试使用软件包计算此结果的示例mvtnorm-但未成功。我想可以通过计算多元密度函数结果的等值线来做到这一点，但是我想知道是否还有另一种选择（例如，qnorm）。谢谢你的帮助。

例：

mu <- 5
sigma <- 2 
vals <- seq(-2,12,,100)
ds <- dnorm(vals, mean=mu, sd=sigma)

plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)


#install.packages("mvtnorm")
require(mvtnorm)
n <- 2
mmu <- rep(mu, n)
msigma <- rep(sigma, n)
mcov <- diag(msigma^2)
mvals <- expand.grid(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100))
mvds <- dmvnorm(x=mvals, mean=mmu, sigma=mcov)

persp(matrix(mvds,100,100), axes=FALSE)
mvqs <- qmvnorm(0.95, mean=mmu, sigma=mcov, tail = "both") #?

#ex. plot   
png("tmp.png", width=8, height=4, units="in", res=400)
par(mfcol=c(1,2))

#univariate
plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)

#multivariate
pmat <- persp(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), axes=FALSE, shade=TRUE, lty=0)
cont <- contourLines(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), levels=0.05^2)
lines(trans3d(cont[[1]]$x, cont[[1]]$y, cont[[1]]$level, pmat), col=2, lty=2)

dev.off()

— 马克在盒子里
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甲Mathematica的溶液中给出（和用于3D情况示出）在mathematica.stackexchange.com/questions/21396/...。它认识到轮廓级别由卡方分布给出。

— ub

@whuber-您介意展示“ ...的置信椭球是协方差矩阵逆矩阵的轮廓”的意思吗？干杯。

— 2013年

2

这在一个维度上最容易看到，其中“协方差矩阵”（对于采样分布）为数

，因此其逆值为

，被认为是

通过

的二次映射。

。根据定义，水平为

的轮廓是

的集合，其中

；即，

或等效

s^{2}

$s^2$

1 / s^{2}

$1/s^2$

R^{1}

$\mathbb{R}^1$

x \to x^{2} / s^{2}

$x\to x^2/s^2$

λ

$\lambda$

x

$x$

x^{2} / s^{2} = λ

$x^2/s^2=\lambda$

x^{2} = λ s^{2}

$x^2=\lambda s^2$

。当

是

一个的位数

分配，

x = \pm \sqrt{λ} s

$x=\pm\sqrt{\lambda}s$

λ

$\lambda$

1 - α

$1-\alpha$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

是

分布的

分位数，从中我们恢复了通常的置信限度

。

\sqrt{λ}

$\sqrt{\lambda}$

1 - α

$1-\alpha$

t (1)

$t(1)$

\pm t_{1 - α; 1} s

$\pm t_{1-\alpha; 1}s$

— ub

可以使用第一个公式中此答案通过选择

在

，以获得相应的椭圆

（红色虚线在图线）对于任何

α

$\alpha$

(0, 1)

$(0,1)$

S_{α}

$S_\alpha$

x \in R^{2}

$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^2$

— user603

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等高线是椭圆形。原因是因为您必须在多元正态分布的pdf中查看指数参数：等值线将是具有相同参数的线。然后，你

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = c

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = c$ 其中

是协方差矩阵。那就是椭圆的等式。在简单的情况下，

和

是对角，所以你

Σ

$\Sigma$

μ = (0, 0)

$\mu=(0,0)$

Σ

$\Sigma$

如果

是不是对角线，你对角化得到相同的结果。

{(\frac{x}{σ_{x}})}^{2} + {(\frac{y}{σ_{y}})}^{2} = c

$\left(\frac{x}{\sigma_x}\right)^2+\left(\frac{y}{\sigma_y}\right)^2=c$

Σ

$\Sigma$

现在，您将必须在椭圆内部（或外部）集成多变量的pdf，并要求它等于所需的分位数。假设您的分位数不是通常的分位数，而是原则上是椭圆的（即Tim指出，您正在寻找最高密度区域HDR）。我会改变在PDF变量，集成在角度，然后从到 $z^2=(x/\sigma_x)^2+(y/\sigma_y)^2$ $z$ $0$ $\sqrt{c}$ 然后，你替代：

1 - α = \int_{0}^{\sqrt{c}} d z \frac{z e^{- z^{2} / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} d θ = \int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2}

$1-\alpha=\int_0^{\sqrt{c}}dz\frac{z\;e^{-z^2/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\theta=\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}$

s = - z^{2} / 2

$s=-z^2/2$

\int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2} = \int_{- c / 2}^{0} e^{s} d s = (1 - e^{- c / 2})

$\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}=\int_{-c/2}^{0}e^sds=(1-e^{-c/2})$

因此，在原则上，你必须寻找在中心的椭圆以上的特征向量，与轴和有效半径： $\mu$ $\Sigma$ $-2\ln\alpha$

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = - 2 \ln α

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = -2\ln{\alpha}$

— 选择
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4

您曾问过多元正态，但通常是从询问“多元分布的分位数”开始的。从问题的措辞和提供的示例中，您似乎对最高密度的区域感兴趣。Hyndman（1996）对它们的定义如下

$f(z)$ $X$ $100( 1 - \alpha )\%$ $R(f_\alpha)$ $X$

$R (f_{α}) = {x : f (x) \geq f_{α}}$ $R(f_\alpha) = \{ x : f(x) \geq f_\alpha\}$
$f_\alpha$ $\Pr(X \in R(f_\alpha)) \geq 1 - a$

$Y = f(x)$ $f_\alpha$ $\Pr(f(x) \geq f_\alpha) \geq 1 - \alpha$ $\alpha$ $Y$ $y_1,...,y_m$ 。即使我们不知道该方法也适用 $f(x)$

Hyndman，RJ（1996）。计算并绘制最高密度区域。美国统计学家，50（2），120-126。

— 蒂姆
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2

正确答案应该是 $-2*\ln(\alpha)$ 。上面的计算有误。更正的版本：

\int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2} = \int_{- c / 2}^{0} e^{s} d s = (1 - e^{- c / 2})

$\int_0^\sqrt{c} z e^{-z^2/2} =\int_{-c/2}^0e^sds=(1-e^{-c/2})$

— chunjiw
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You could draw an ellipses corresponding to Mahalanobis distances.

library(chemometrics)
data(glass)
data(glass.grp)
x=glass[,c(2,7)]
require(robustbase)
x.mcd=covMcd(x)
drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=0.90)

Or with circles around 95%, 75%, and 50% of data

drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=c(0.95,.75,.5))

— daisy
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Welcome to the site @user98114. Can you provide some text to explicate what this code is doing & how it resolves the OP's issue?

— gung - Reinstate Monica