计算联合置信区间的高斯相关不等式的结果

根据《 Quanta杂志》上一篇非常有趣的文章：“长期寻找，发现并几乎丢失” –已经证明，给定向量具有多元变量高斯分布，给定间隔围绕的相应分量的，然后 $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

（高斯相关不等式或GCI；有关更一般的表述，请参见https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf）。

这看起来确实很简单，并且文章说这对联合置信区间有影响。但是，这对我而言似乎毫无用处。假设我们正在估计参数，并且发现了估计器都是（也许是渐近的）联合正态的（例如MLE估计器）。然后，如果我为每个参数计算95％的置信区间，则GCI保证超立方体是一个联合置信区域，其覆盖范围不小于 ...甚至覆盖率也非常低中度。 $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

因此，找到联合置信区域似乎不是一个明智的方法：如果知道协方差矩阵并且该协方差矩阵更锐利，则很难找到多元高斯的通常置信区域，即超椭球。当协方差矩阵未知时，找到置信区域可能有用吗？您能给我展示一个GCI与联合置信区域计算的相关性的例子吗？

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— 三角洲IV
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你有正确的主意。要使关节区域达到95％，各个置信区间必须远高于95％。每个都必须至少提高到0.95的1 / n次方。

— Michael R. Chernick

一个很小但重要的修正：间隔

I_{k}

$I_k$ 必须全部以零为中心，即

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$ 。

— 亚历克斯R.17年

@amoeba我并不担心证明的难度，而是担心它与应用统计数据的相关性。如果考虑使用超矩形，则更容易显示出这种相关性，很好。相反，如果您认为这种不等式仅在考虑了任意多边形时才变得有用，那就足够了。我会接受一个回答，说“如果仅考虑超矩形，那么GCI对于应用统计学家来说并不是一个非常有用的工具，因为....但是如果考虑任意多边形，那么它确实变得有意义，因为...”

— DeltaIV

我想编辑并查看带有证明的文件，但现在我还不确定100％是否认为超矩形是特殊/简易情况或等效公式。我会暂时离开，也许稍后再回到这里。

— 变形虫说莫妮卡（Monica）恢复职权

以原点为中心的超矩形（其中以原点为中心，我的意思是每个一维区间，其笛卡尔积定义超矩形，都与原点对称）至少是一种特殊情况（我不知道它们是否是一个等效情况）。根据arXiv论文，不等式对于所有对称凸集均有效。超矩形是一个凸集，如果按照上述定义在原点上居中，则它是对称的，即。

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

我认为这个问题更有意义。从某种意义上讲，您正在研究多个假设检验，并与运行多个假设检验进行比较。

是的，确实存在一个下限，该下限是假设独立性的测试的p值的乘积。这是在多重假设检验（例如Bonferroni或Holm调整）中调整p值的基础。但是Bonferroni和Holm调整（假设独立性）是特别低的功率测试。

在实践中，可以做得更好（这可以通过Bootstrap完成，例如，参见H White的Bootstrap真实性检查，Romano-Wolf的论文以及最新的有关模型置信集的论文集）。这些中的每一个都是在较高功率假设检验中的尝试（例如，使用估计的相关性比仅使用此下限做得更好），因此更加相关。

— NBF
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